Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4

12.01.2008, 15:30

tim taler

Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4

Hallo zusammen,

sicher haben wir dieses Thema hier nicht zum ersten Mal, daher habe ich mich auch schon in der Suche informiert.

allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} P_n(x)=\sum_{i=0}^n~a_i x^{i} \end{eqnarray*}$

Nun beginne ich mal bei einem Polynome ersten Grades (also Gerade) zB

$\begin{eqnarray*} P_1(x)=\sum_{i=0}^1~a_1 x^{1} \end{eqnarray*}$

Die Nullstelle eines Polynom ersten Grades ergibt sich also

$\begin{eqnarray*} P_1(0) = ax= 0\\ a=0\Rightarrow oder\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet nun, das für alle a ungleich 0, x=0 sein muss. Aber was sagt das genau über die Nullstelle aus?

Nun ein Polynom zweiten Grades zB

$\begin{eqnarray*} P_2(x) = 3x^2 +5x+1 \end{eqnarray*}$

Nun kann ich doch einfach die Koeffizienten a=3, b=5 und c=1 nehmen, diese in die abc- Formel einsetzen und mir damit 2 Nullstellen ermitteln. Hat also ein Polynom zweiten Grades immer 2 Nullstellen? Und ein Polynom ersten Grades immer eine??

Soweit die leichteren Sachen.

Nun zu einem Polynom dritten Grades zB

$\begin{eqnarray*} P_3(x) = 4x^3 + 2x^2 + 5x - 4250 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich in der Suche Beiträge gefunden, wo mehrfach darauf hingewiesen wird, das man zB mit dem Horner-Schema, mit Polynomdivision, usw vorgehen kann. Aber meistens wird dazu geraten die erste Nullstelle zu erraten.
Wie geht man das nun an?
Werden auch Polynome vom Grade 4 durch diese Methode gelöst, oder sollte ich besser gleich das Horner-Schema lernen?

Gruss, tt

12.01.2008, 15:55

Pabene

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zu dem polynom zweiten grades, was ist denn, wenn die parabel nach oben verschoben ist? Dann haben wir keine 2 Nullstellen

12.01.2008, 23:19

lunara

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
Polynom dritten Grades:
Man kann die Nullstelle erraten, indem man die Teiler des Absolutgliedes in die Gleichung einsetzt. Hat man eine Nullstelle erraten (x0), kann man den Linearfaktor (x – x0) von der Gleichung abspalten, dadurch wird deren Grad um 1 niedriger. Da das Absolutglied in deiner Gleichung relativ gross ist, zeige ich es dir zuerst an einem Beispiel mit kleineren Zahlen.

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2-14x+24=0 \end{eqnarray*}$

Mögliche Lösungen (d.h. Teiler des Absolutgliedes):
1; -1; 2; -2; -3; 3; -4; 4; -6; 6; -8; 8; -12; 12; -24; 24

Jetzt ersetzen wir x durch diese Zahlen bis wir eine Lösung haben.
Hier ist x = 2 eine Lösung (weil $\begin{eqnarray*} 2^3-2^2-14*2+24=0 \end{eqnarray*}$

Abspaltung des Linearfaktors (x – 2)

Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} (x^3-x^2-14x+24) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^2+x-12 \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du eine quadratische Gleichung, die du einfach lösen kannst.

Bei deinem Beispiel hat das Absolutglied natürlich relativ viele Teiler.

$\begin{eqnarray*} 4x^3+2x^2+5x-4250=0 \end{eqnarray*}$

Durch probieren merkst du aber schnell, dass x0 = 10 eine Nullstelle ist. Spalte auch wieder den Linearfaktor (x -10) ab, dann erhältst du auch wieder eine quadratische Gleichung.
Du kannst das Verfahren auch bei einem Polynom vierten Grades verwenden, indem du zweimal einen Linearfaktor abspaltest.

Übrigens, quadratische Gleichungen haben nicht immer zwei Nullstellen, sie können auch eine oder gar keine Nullstelle haben.

13.01.2008, 10:33

tim taler

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
ok danke für die ausführliche Erklärung.
ich habe nun die Polynomdivision durchgeführt, mit (x-10) wie Du schon gesagt hast. Damit habe ich folgende quadrat. Gleichung erhalten:

$\begin{eqnarray*} (4x^3+2x^2+5x-4250) : (x-10) = 4x^2+42x+425 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$ mittels abc-Formel berechnet und folgende Resultate erhalten:

$\begin{eqnarray*} x_1=6.3175...\\ x_2=-16.8175... \end{eqnarray*}$

Hat also die angesprochene Funktion dritten Grades diese beiden Nullstellen?
Wann hatr die Fkt. zweiten Grades keine, eine oder 2 Nullstellen?

13.01.2008, 17:26

Pabene

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4

Zitat:

Original von tim taler
Hat also die angesprochene Funktion dritten Grades diese beiden Nullstellen?
Wann hatr die Fkt. zweiten Grades keine, eine oder 2 Nullstellen?

Keine Nullstellen:

Eine "doppelte Nullstelle"

2 Nullstellen:

15.01.2008, 15:00

tim taler

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
also bei x^2 immer eine doppelte Nullstelle, sonst wann auch noch?
Und wie ist es mit einer oder keiner? Hat es nur was mit den Vorzeichen zu tun?

War die Berechnung zum Grade 3 aus dem vorletzten Beitarg nun ok?

Gruss, tt

15.01.2008, 15:27

klarsoweit

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4

Zitat:

Original von tim taler
Nun beginne ich mal bei einem Polynome ersten Grades (also Gerade) zB

$\begin{eqnarray*} P_1(x)=\sum_{i=0}^1~a_1 x^{1} \end{eqnarray*}$

Das ist ja schon Unfug. Wenn, dann ist:
$\begin{eqnarray*} P_1(x)=\sum_{i=0}^1~a_i x^{i} = a_0 + a_1 \cdot x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} P_1(0) = ax= 0\\ a=0\Rightarrow oder\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

Du willst doch nicht den Funktionswert an der Stelle Null, sondern die Nullstelle, also das x bestimmen, für das $\begin{eqnarray*} P_1(x)= a_0 + a_1 \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

15.01.2008, 15:44

tim taler

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
ok, danke für die Verbesserung.
Und wie ist es nun mit den Nullstellen?

15.01.2008, 15:51

klarsoweit

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
Welche Fragen sind denn jetzt noch offen?

15.01.2008, 15:55

tim taler

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
also mit den Nullstellen:
gibt es noch eine Funktion außer f(x)=x^2 die eine doppelte Nullstelle hat?
Und wie sieht es mit einer oder keiner Nullstelle aus, aus den Bildern kann ich mir nun keine Definition ableiten...
Ich sehe nur das die Vorzeichen einmal pos. und einmal neg. sind...

15.01.2008, 16:04

klarsoweit

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
Alle Polynome 2. Grades der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-a)^2 \end{eqnarray*}$ haben eine doppelte Nullstelle bei x=a.

Alle Polynome 2. Grades der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-a)^2+b \end{eqnarray*}$ mit b > 0 haben keine reellen Nullstellen.

Alle Polynome 2. Grades der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-a)^2 - b \end{eqnarray*}$ mit b > 0 haben zwei Nullstellen.

Augenzwinkern

15.01.2008, 16:10

tim taler

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen bis zum Grad 4
Damit kann man doch was anfangen!
Herzlichen Dank, bin dann "klarsoweit" !!! ;-)

Schöne Grüße

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