Differentialquotient und de l’Hospital

12.01.2008, 18:04	Cidburner	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialquotient und de l’Hospital soo, mir fehlen noch 2 teilaufgaben von meiner Übungsserie und ich hoffe einer von euch kann mir da nochmal helfen 1. Ich soll den Differentialquotient von $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ bestimmen, Die Ableitung ist mir bekannt , ich komme aber leider mit dem quotienten nicht drauf. $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x} } {h} \end{eqnarray}$ für h gegen 0 , her fehlt mir die idee zum weitermachen 2. ich soll mit de l’Hospital den grenzwert bestimmen für $\begin{eqnarray} (1-2^x)^{sinx} \end{eqnarray}$ x gegen 0- durch umstellen komme ich auf $\begin{eqnarray} exp(sinxln(1-2^x)) \end{eqnarray*}$ . und dann weiß ich nicht weiter, habe schon viel rumprobiert aber bin auf nix gekommen, pc programm sagt mir das es es 1 wird. kann mir jmd einen tipp geben gruß cid
12.01.2008, 18:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1: erweitere mit $\begin{eqnarray} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray}$ zu 2: es wird vielleicht einfacher, wenn du so umformst: $\begin{eqnarray} \sin x \cdot ln(1-2^x) = \frac{\sin x}{1-2^x} \cdot (1-2^x)ln(1-2^x) \end{eqnarray}$
13.01.2008, 12:11	Cidburner	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke an dich . Ok, die erste aufgabe ist gelöst nur bei der zweiten rätsel ich noch. ich hab das jetzt abgeleitet nach hospital, aber das sieht nicht richtig aus. Die terme sind auch gerade etwas zu lang um die hier rein zu schreiben ??!!, war der weg richtig das gleich abzuleiten, oder hab ich einen schritt übersprungen?
13.01.2008, 12:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
der erste faktor sollte eigentlich kein problem sein, da kommt ein endlicher grenzwert raus. der zweite faktor wird durch $\begin{eqnarray} u=1-2^x \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \lim_{u \to 0} u \ln u \end{eqnarray}$
13.01.2008, 13:51	Cidburner	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm sorry , ich seh es immer noch nicht. soll ich den ersten faktor nach l'hospital ableiten ? bzw was mach ich dann mit dem zweiten??!?!. Produktregel ?. oder alles einzeln für sich ableiten?.
13.01.2008, 13:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich meine das so: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1-2^x} \cdot (1-2^x)ln(1-2^x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1-2^x} \cdot \lim_{x \to 0} (1-2^x)ln(1-2^x) \end{eqnarray}$
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14.01.2008, 18:11	Cidburner	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm hab damit jetzt rumgerechnet aber bekomme immer noch nichts sinvolles zu stande ..kannst du mir noch einen weiteren tipp geben
15.01.2008, 16:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin zwar nicht tmo, aber bitte: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - 2^x} \cdot \lim_{x \to 0} [(1 - 2^x)\ln(1 -2^x)] = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - 2^x} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\ln u}{\frac{1}{u}} \ \ \text{mit } \ u = 1 - 2^x \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du auf beide Faktoren l'Hospital anwenden. Nicht vergessen, das Gesamtergebnis noch in exp() zu setzen. [Kontr.: $\begin{eqnarray} \to e^0 \to 1 \end{eqnarray}$ ] mY+

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