Verteilungsfunktion/Zufallsvektoren

05.06.2005, 20:26

efeu77

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Verteilungsfunktion/Zufallsvektoren

Hi Leute !

Ich komme mit den Verteilungsfunktionen und Zufallsvektoren einfach nicht klar.

Folgende Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} X1,...,Xn \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} Xi \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} Exp(\lambda i) \end{eqnarray*}$ , i = 1,2,...,n.

Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y=min(X1,...,Xn) \end{eqnarray*}$ .

Wie erhalte ich denn da die Verteilungsfunktion, bzw. wie berechne ich sie ?

Gruß
Stefan

05.06.2005, 22:19

Anirahtak

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Hallo,

du suchst die Wahrscheinlichkeit P(y<=Y).
Berechne dazu 1-P(y>Y) und mache dir klar, was y>Y bedeutet.

Klappts jetzt?

Gruß
Anirahtak

05.06.2005, 23:17

efeu77

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Hallo !

Nein, leider klappt es überhaupt nicht.

Die Verteilungsfunktion berechne ich doch durch Integrieren, oder ?
Und mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, was ich integrieren soll. Die Xi sind ja exponential-verteilte Zufallsvariablen. Jetzt frage ich mich halt, wie ich den Zusammenhang zwischen X und Y kriege. Denn wenn Y von X abhängig ist, dann muss ich doch noch diese X1 bis Xn irgendwie mit einbeziehen, oder ?

Gruß
Stefan

05.06.2005, 23:33

AD

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Worau Anirahtak hinweist, ist die Umformung

$\begin{eqnarray*} P(Y>y) = P\left(\min\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}>y\right) = P(X_1>y,X_2>y,\ldots,X_n>y) \end{eqnarray*}$

Klar, wie's jetzt weiter geht?

07.06.2005, 21:06

efeu77

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Hi !

Sorry, dass ich erst jetzt antworte, aber war die letzten Tage beschäftigt.

Also, wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist

$\begin{eqnarray*} P(X1 > Y, ... , Xn > y) \end{eqnarray*}$ das Integral, über das ich von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ integrieren muss, oder ?

Es ergibt sich dann jetzt

n-mal
----------------
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~~ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~~f(x1,...,xn)~d(x1,...,xn) \end{eqnarray*}$

oder ?

Und da Y = min{X1,...,Xn} erhalte ich doch dann eigentlich, dass Y = Xi das Minimum aus {X1,...,Xn} ist und bilde dann folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} F(xi) = \int_{-\infty}^{\infty}~~f(xi)~dxi \end{eqnarray*}$

Wenn ich da jetzt die Dichte der Exponential-Verteilung für f(xi) einsetze, erhalte ich die gewünschte Verteilungsfunktion, oder ???

08.06.2005, 07:26

AD

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Deine Integralgrenzen sind völlig daneben, ist dir das klar? unglücklich

unglücklich

Im übrigen ist die Betrachtung der Dichten hier unnötig, die Verteilungsfunktionen sind völlig ausreichend. Da $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, gilt die Produktzerlegung

$\begin{eqnarray*} P(X_1>y,X_2>y,\ldots,X_n>y) = P(X_1>y)\cdot P(X_2>y)\cdot\ldots\cdot P(X_n>y) \end{eqnarray*}$

Rechts stehen jetzt nur Wahrscheinlichkeiten, die mit den bekannten Verteilungsfunktionen der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ausgedrückt werden können.

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08.06.2005, 18:03

efeu77

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Die Integralgrenzen haben wir in der Vorlesung so angegeben, für den allgemeinen Fall.

Ich verstehe das mit der Produktzerlegung schon, aber ich habe eben keine Verteilungsfunktion dazu, die soll ich ja berechnen, und das ist genau mein Problem. Ich weiß nämlich nicht, wie das geht !

08.06.2005, 18:54

AD

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Zitat:

Original von efeu77
Die Integralgrenzen haben wir in der Vorlesung so angegeben, für den allgemeinen Fall.

Das bezweifle ich - so schlecht kann keine Vorlesung sein. Du hast nur falsch abgeschrieben. Und die Tatsache, dass du drauf beharrst, lässt leider auf allergrößte Verständnisschwierigkeiten schließen. Tatsächlich gilt für jede absolutstetige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{X_i}(x_i) = P(X_i < x_i) = \int\limits_{-\infty}^{x_i}~f(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

sowie für jeden absolutstetigen Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} \underline{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{\underline{X}}(x_1,x_2,\ldots,x_n) = P(X_1<x_1,\ldots,X_n<x_n) = \int\limits_{-\infty}^{x_1}~\ldots~\int\limits_{-\infty}^{x_n}~f(t_1,\ldots,t_n)\,\mathrm{d}(t_1,\ldots,t_n) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von efeu77
Ich verstehe das mit der Produktzerlegung schon, aber ich habe eben keine Verteilungsfunktion dazu,

Also die Verteilungsfunktion der einzelnen, exponentialverteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ solltest du schon kennen oder zumindest nachschlagen können - was glaubst du denn, warum Anirahtak und ich die obigen Umformungen vorgenommen haben?

08.06.2005, 21:17

efeu77

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Zu den Integralgrenzen:

Ich kann das nur so wiedergeben, wie ich (und übrigens auch 3 Kommilitonen) das aufgeschrieben haben, aber egal.

Du hast völlig recht, ich verstehe das ganze überhaupt nicht. Stochastik ist für mich ein Buch mit sieben Siegeln.

Und nachschlagen kann ich das wie gesagt leider auch nicht, denn ich weiß ja noch nicht mal, wo ich suchen könnte. Im Netz hab ich bisher zumindest nix gefunden.

Und wenn ich wüsste, wie die Verteilungsfunktion der Exponential-Verteilung aussieht, dann hätte ich die Aufgabe auch nicht gepostet !!!

Ich habe KEINE Ahnung, wie auch nur irgendeine Verteilungsfunktion aussieht, weder was sie aussagt.

Das einzige, was ich habe sind die Dichten zu den einzelnen Verteilungen.

08.06.2005, 21:26

AD

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Habt ihr denn keine Übungen, wo ihr sowas klären könnt? Nach dem, was du gerade erzählt hast, ist die Aufgabe mindestens drei Nummern zu hoch für deinen momentanen sehr wackligen Kenntnisstand.

Ok, zur Exponentialverteilung:

http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

Zitat:

Original von efeu77
Und wenn ich wüsste, wie die Verteilungsfunktion der Exponential-Verteilung aussieht, dann hätte ich die Aufgabe auch nicht gepostet !!!

Jetzt flunkerst du: Die eigentliche Schwierigkeit dieser Aufgabe ist die Überführung der Minimumverteilung in die Verteilungen der Einzelgrößen (siehe oben), nicht die Exponentialverteilung. Die ist vergleichsweise trivial.

08.06.2005, 22:18

bil

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hi
also meine antwort bringt dich jetzt speziell in der frage nicht weiter aber ich würde dir sehr empfehlen zur vorlesung noch ein stochastikbuch zu zulegen. wie es aussieht hattest du wahrscheinlich in der schule auch kein stochastik und die vorlesungen haben teilweise ein doch ziemlich schnelles tempo drauf. in meiner vorlesung gab es viele die nichtmals den sinn der zuvallsvariablen verstanden haben und zwei wochen später schon randdichten,verteilung usw. bestimmen mussten. und das man dann schnell aus dem stoff kommt und vorallem den spass an der sache verliert ist ganz normal. der grund in meiner vorlesung war aber das es rein formal ohne bsp beschrieben wurde. aber über das thema gehts ja schon in arthurs lieblingsthread http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=18064 Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
mfg bil

08.06.2005, 22:28

AD

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Eine Vorlesung so ganz ohne Beispiele ist natürlich schlecht. Aber es ist auch klar, dass eine Vorlesung nicht mit Beispielen überladen sein kann - dafür sind, wie gesagt, dann ja auch Übungen da.

Ich weiß natürlich (aus eigener Erfahrung), dass die Universitäten und Hochschulen immer mehr gerade auch an solchen Übungen sparen. Da kommen dann Übungsgruppen mit 40 Studenten und mehr zusammen - da ist kein vernünftiges Arbeiten mehr möglich. Auch ein Grund, warum ich mich gegen eine weitere Universitätskarriere entschieden habe.

08.06.2005, 23:03

efeu77

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@ Arthur

doch, wir haben schon Übungen und auch Tutorien, allerdings sind die alle nicht so wirklich in der Lage, uns das so zu erklären, dass wir es verstehen.

Danke für den Link !

Diese Überführung in die Einzelgrößen war mir schon klar, das haben wir so ähnlich im Tutorium gemacht und es folgt ja aus der Unabhängigkeit, oder ?

Das heißt dann also, ich berechne die Verteilungsfunktion für meine Aufgabe durch Integrieren von
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot exp(-\lambda*x) \end{eqnarray*}$

Dazu bilde ich n Integrale

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{x1}~(...) ~ \int_{-\infty }^{xn}~f(t1,...,tn)~d(t1,...,tn) \end{eqnarray*}$

und erhalte als Ergebnis

$\begin{eqnarray*} exp(-n*\lambda*x) \end{eqnarray*}$

Ist das denn jetzt richtig so ?

@ bil

Hast du denn da ne empfehlung ? Ich hab mir zwar eins gekauft, aber da konnte ich nach 4 Wochen Vorlesung schon nix mehr mit anfangen, weil das, was wir da machen nicht richtig bzw. teilweise gar nicht drin erklärt ist

08.06.2005, 23:25

AD

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Zitat:

Original von efeu77
und erhalte als Ergebnis

$\begin{eqnarray*} exp(-n*\lambda*x) \end{eqnarray*}$

Ist das denn jetzt richtig so ?

Frei nach LOED: "x²+x-2 ist keine Funktion, sondern ein Term. f(x)=x²+x-2 ist eine Funktion."

Und genauso verhält es sich hier mit $\begin{eqnarray*} exp(-n*\lambda*x) \end{eqnarray*}$ . Die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Y(x) \end{eqnarray*}$ ist es jedenfalls nicht.

08.06.2005, 23:49

bil

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welches buch hast du? ich hoffe ich nenne jetzt nicht das buch das du schon hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

. also ich kann das buch karl bosch, "elementare einführung in die wahrscheinlichkeitsrechnung" sehr empfehlen. dann ist noch "einführung in die wahrscheinlichkeitstheorie und statistik" von ulrich krengel ganz in ordnung(etwas schwieriger zu verstehen).

also das von bosch ist sicherlich kein hardcore stochastik buch aber ist mehr als verständlich und alles was erklärt wird, ist mit bsp versehen. es startet von 0 und geht eigentlich alles einmal durch. insgesamt glaub ich 150 seiten oder so. es ist perfekt geeignet um eine gute grundlage zu legen. danach sollte man vorallem die standardsachen gut beherrschen. also vom niveau her ist mit dem buch deine aufgabe noch zu lösen. also ich kanns dir nur empfehlen aber vielleicht solltest du mal deinen prof fragen was der davon hält. ist wie gesagt nur ein einsteiger buch aber da du nichtmals den sinn von verteilungen genau weisst ist das buch glaube ich perfekt für dich(aber nicht unbedingt für deine vorlesung). solltest du genauere infos zum inhalt des buches haben kann ich die dir auch geben. wie heisst deine vorlesung eigentlich genau?
mfg bil

10.06.2005, 23:53

efeu77

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Also mein Buch heißt "Stochastik für Einsteiger" von Henze, hat uns der Prof empfohlen, allerdings kann ich damit nicht so wirklich viel anfangen.

Ich werd mal in die Bibliothek schauen nächste Woche, ob die das da haben und es mir mal ausleihen, denn ein gewisses Grundverständnis wäre schon nicht schlecht.

Die Vorlesung heißt "Stochastik für Wiwi, Informatiker und Biologen". Und der Prof orientiert sich halt an den Informatikern, die er schon in ANA 1 und ANA 2 und LA hatte.

Der Typ macht übel viel Tempo ohne viel zu erklären. Und das macht es uns Wiwis schwer mitzukommen, während die Informatiker sich zu Tode langweilen.

Ist halt total sch****, wenn man das gemeinsam mit Leuten hört, die von Mathe 3-mal so viel Ahnung haben, wie man selbst !!!

11.06.2005, 12:07

bil

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ja das kann ich gut verstehen... das mit dem ausleihen ist eine gute idee, dann kannst du auch selber abschätzen wie verständlich es ist. viel spass beim lesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg bil

11.06.2005, 13:13

bil

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übrigens zur deiner anfangsfrage:
würde aber eventuell eher zeit ins nachlernen stecken als die aufgabe zu lösen bzw. verstehen aber hier gehts dann weiter:

das wissen wir alles schon: X_i exp.verteilt
$\begin{eqnarray*} P(X_i\leq x_i)&=&F_{X_i}(x_i)\\ P(X_i\geq x_i)&=&1-F_{X_i}(x_i) \end{eqnarray*}$

da die X_i exp-verteilt sind ist
$\begin{eqnarray*} F_{X_i}(x_i)=1-\exp^{-\lambda x_i} \end{eqnarray*}$ (kann man auch unter wikipedia nachschaun.)
was wir noch wissen bzw. arthur dent schon gesagt hat:

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq y)=P\left(\min\{X_1,\ldots,X_n\}\geq y\right)=P\left(X_1\geq y,\ldots,X_n\geq y\right)=P\left(X_1\geq y\right)\cdot\ldots\cdot P\left(X_n\geq y\right) \end{eqnarray*}$

und da wir ja wissen was $\begin{eqnarray*} P\left(X_1\geq y\right) \end{eqnarray*}$ ist (siehe oben)folgt
also

$\begin{eqnarray*} F_Y(x)=1-\left(1-F_{X_1}(x)\right)^n \end{eqnarray*}$ .

sollte dich irretieren das da $\begin{eqnarray*} F_{X_1}(x) \end{eqnarray*}$ steht das hat folgenden grund.
die Xi sind alle exp-vertei undl deswegen ist ja $\begin{eqnarray*} F_{X_1}(x)=\dots =F_{X_n}(x) \end{eqnarray*}$ . deswegen hab ich einfach mal $\begin{eqnarray*} F_{X_1}(x) \end{eqnarray*}$ gewählt.

mfg bil

ps: bei fehlern bitte melden....

11.06.2005, 13:16

bil

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mit $\begin{eqnarray*} exp^{-\lambda x_i} \end{eqnarray*}$ meine ich natürlich $\begin{eqnarray*} e^{\lambda x_i} \end{eqnarray*}$ . dachte latex macht das so aber hab mich wohl getäuscht Augenzwinkern

Augenzwinkern

bis dann...
bil

11.06.2005, 13:54

AD

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Jetzt muss natürlich der Seitenhieb kommen: Solche Fehler korrigiert man durch Editieren. Ach ja, du bist ja nicht registriert...

11.06.2005, 14:37

bil

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ja die editfkt benötige ich wirklich... Augenzwinkern

Augenzwinkern

muss mir aber noch erst einen guten benutzernamen überlegen, vielleicht insperiert mich ja auch der film per anhalter durch die galaxis Augenzwinkern

Augenzwinkern

(aber voraussetzung ist das ich erstmal ins kino gehe...)..

ach ja efeu77 die lösung hast ja eh schon aber solltest du irgendwas bei der lösung nicht verstanden haben, kannst natürlich noch fragen.

mfg bil

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