Metrik |
| 06.06.2005, 00:34 | Mathematiker84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Metrik ich soll eine Metrik auf der Menge X:=(-pi/2, pi/2) finden, die die selben offenen Mengen wie die übliche Metrik erzeugt aber vollständig ist. Ich glaube ich habe eine gefunden d(x,y)=|tan(x)-tan(y)|. Nur wie kann ich zeigen, dass sie vollständig ist, also dass jede Cauchyfolge auch konvergiert. Gruß MM |
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| 06.06.2005, 21:04 | Mathematiker84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat hier wirklich keiner ne Idee? |
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| 06.06.2005, 21:25 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Cauchy-Folge heißt hier speziell auch, dass die Folge der beschränkt ist. |
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| 06.06.2005, 22:03 | Mathematiker84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, wie meinst das genau arthur dent? X_n muss beschränkt sein auf (-pi/2 ; pi/2), da nur dort der tan definiert ist oder wie? Ich seh da im Mom noch kein Zusammenhang zu meinem Problem. Gruß Mathematiker |
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| 06.06.2005, 22:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Arthur wollte dir zeigen, dass deine Metrik eben nicht vollständig ist! Wenn jede Cauchyfolge konvergieren würde, dann müsste die Folge ja auch beschränkt sein. Jetzt musst du nur noch eine unbeschränkte Cauchyfolge finden, um einzusehen, dass deine Idee leider nicht so gut ist! 
Beachte dabei, dass wir uns hier auf der Metrik befinden und es nicht um die Folge geht, die trivialerweise beschränkt ist, sondern um die Folge . Gruß MSS |
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| 06.06.2005, 22:33 | Mathematiker84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, sie soll aber vollständig sein, da wir das als Tip bekommen haben
Komisch. |
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| 06.06.2005, 22:50 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da muss ich widersprechen, das wollte ich nicht: @Mathematiker84 Wie gesagt, wenn Cauchy-Folge hinsichtlich der tan-Metrik ist, dann muss die Folge beschränkt sein (warum? denk mal drüber nach!). Dann gibt es also ein K>0 mit für alle n. Mit folgt dann . Und jetzt kannst du den Grenzwert von hinsichtlich der "normalen" euklidischen Metrik betrachten... EDIT: Der Witz an der tan-Metrik ist, dass eine "normale" euklidische Cauchyfolge mit Grenzwert eben keine Cauchyfolge hinsichtlich der tan-Metrik ist. |
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| 06.06.2005, 22:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entweder hab ich mich diesmal zu sehr auf Arthurs "falschen Tipp" verlassen oder ich habe ihn falsch verstanden. Ich glaube, eher letzteres ist anzunehmen, da ersteres mit hoher Wahrscheinlichkeit auszuschließen ist. 
Und wenn ichs nochmal genau lese, sehe ich, dass er inhaltlich was anderes gesagt hat als ich.Deswegen sollte Arthurs Tipp wohl gerade dazu dienlich sein, die Vollständigkeit zu zeigen, also probier's doch mal damit! Aus Cauchyfolge folgt beschränkt und dann weiterarbeiten. edit: @Arthur Ja, habs selbst schon bemerkt, hatte dich da falsch verstanden. edit2: @Arthur Hhhm, mir leuchtet die Konvergenz von leider nicht direkt ein. Ich hab sie zwar beweisen können, aber dafür auch ein wenig etwas tun müssen. Aber deine Formulierung hört sich so an, als wäre die Konvergenz offensichtlich. Oder hast du das Mathematiker84 jetzt gelassen, also dass er's selbst machen soll?? 
Gruß MSS |
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| 07.06.2005, 00:20 | Mathematiker84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich konnte mit der Beschränktheit nicht so viel anfagen, habe nun folgenden Ansatz/Lösung: Sei (xn) eine Cauchyfolge in X bezgl. der tan-Metrik, d.h. tan(xn) ist eine Cauchyfolge in R. (tan ist stetig) Da R vollständig ist bezüglich der standardmetrik, konvergiert sie in R, etwa gegen x. arctan(x) liegt in (-pi/2;pi/2). xn=arctan(tan(xn)) konvergiert dann gegen arctan(x) aus (-pi/2;pi/2)) (arctan stetig) Ist das so korrekt? oder hab ich nen Denkfehler? Ich bin mir nur nicht sicher ob die die Vollst. von IR bez. der Standardmetrik hinzunehmen kann. Gruß Mathematiker |
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