Abweichung vom Durchschnitt bei Summe von n-Würfen mit 100-seitigem Würfel
Neue Frage »

06.06.2005, 01:16 DoDirk Auf diesen Beitrag antworten »
Abweichung vom Durchschnitt bei Summe von n-Würfen mit 100-seitigem Würfel
Hallo, liebe Forumsmitglieder,
ich habe mich hier mal angemeldet, weil ich mit einer selbst gestellten Aufgabe meine Mathegrenzen erreicht habe. Kombinatorik war noch nie so recht mein Ding. Ich hoffe, hier kann mir jemand auf die Sprünge helfen. Möglicherweise reicht ja schon ein Berechnungsbeispiel für einen 6-seitigen Würfel.

Problemstellung:
Für ein Rollenspiel, dass mit %-Würfen (W100) Handlungserfolge simuliert, soll eine Möglichkeit geschaffen werden, eine Vielzahl aufeinander folgender Prozentwürfe in einem Wurf abzubilden.

Ziel:
Eine Tabelle mit der Anzahl der simulierten Würfe als Zeilenzählung und dem Wurfergebnis als Spaltenkopf. In jeder Zelle steht die Abweichung vom Durchschnitt der Summe aller bisherigen Würfe.
Ein Wurfergebnis von 50 bzw. 51 bedeutet: genau im Durchschnitt = n*50,5 => Zellenwert = 0. Eine 1 und eine 100 als Wurfergebnis erzeugen also die größte Abweichung. Die Spalten teilen also die Verteilung in 100 Klassen ein (oder auch einfacher bei Fünferschritten in 20 Klassen).

Aus Anschauung abgeleitet bekannt:
  • Die Tabelle ist bis auf das Vorzeichen symmetrisch (und wird daher einfacher).
  • Bei kleineren n ist die Streuung der Werte relativ am größten.
  • Es gibt zu jedem n 100 hoch n unterschiedliche mögliche Summen, die in die Klassen eingeteilt werden müssen, d.h. zu jeder Klasse gehört eine Anzahl unterschiedlicher Summen, deren Mittelwert den jeweiligen Zellenwert bestimmt.
  • Die Streuung der Summen innerhalb einer Klasse wird mit steigendem n nach außen hin immer größer.
  • Die Verteilung entspricht einer Gaußverteilung, die mit steigendem n immer steilere Flanken bekommt (?).

Ich hoffe, die Aufgabe ist klar. Für einen Mathematiker ist dies hoffentlich eine interessant Aufgabe. Ich würde mich über eine Lösung jedenfalls sehr freuen.
Ich habe mir mal "Komplexe Würfelwahrscheinlichkeiten" angeschaut, holla! Aber verstanden habe ich wenig... Schon mal vielen Dank für die Mühe.
06.06.2005, 18:58 AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da hier gerade eine Diskussion läuft, ob man denn nicht die ganze Mathematik lieber sprachlich statt mit Symbolen erklären sollte, zeigt dieses Beispiel hier sehr deutlich: Auch das will gelernt sein!

Ich hab mal einige deiner Ausführungen blau markiert und Nachfragen von mir in rot eingefügt:

Zitat:
Original von DoDirk
Ziel:
Eine Tabelle mit der Anzahl der simulierten Würfe als Zeilenzählung und dem Wurfergebnis als Spaltenkopf Welchem Wurfergebnis? Die Werte 1 bis 100, also 100 Spalten? Oder Intervalle? Gib konkret an, was die Spalten bedeuten!. In jeder Zelle steht die Abweichung vom Durchschnitt der Summe aller bisherigen Würfe. Wenn ich das richtig verstehe, dann steht die n-te Zeile für den n-ten Wurf. Welche Werte sollen nun in die ganzen 100 (oder wieviel auch immer) Spalten der n-ten Zeile eingetragen werden? Alle aus dieser Augenzahl extrahiert? 100 Abweichungen wovon?. Ein Wurfergebnis von 50 bzw. 51 bedeutet: genau im Durchschnitt = n*50,5 => Zellenwert = 0. Hier wird's völlig konfus: Der Durchschnitt ist 50,5, allenfalls die Summe n*50,5. Also bitte genau sein! Und warum 0 und nicht 0,5 oder -0,5?. Eine 1 und eine 100 als Wurfergebnis erzeugen also die größte Abweichung. Die Spalten teilen also die Verteilung in 100 Klassen ein (oder auch einfacher bei Fünferschritten in 20 Klassen). (siehe oben)

Aus Anschauung abgeleitet bekannt:
  • Die Tabelle ist bis auf das Vorzeichen symmetrisch (und wird daher einfacher). Nein, ist sie nicht. Es sei denn, du sprichst nicht von Simulationen, sondern Verteilungen. Geht aus deinen Angaben leider nicht hervor..
  • Bei kleineren n ist die Streuung der Werte relativ am größten. Das hängt wieder an den "Werten", siehe oben..
  • Es gibt zu jedem n 100 hoch n unterschiedliche mögliche Summen, Was für Summen: Summen von Augenzahlen?. die in die Klassen eingeteilt werden müssen, d.h. zu jeder Klasse gehört eine Anzahl unterschiedlicher Summen, deren Mittelwert den jeweiligen Zellenwert bestimmt. Oben war noch die Rede davon, dass in den Zellen Abweichungen vom Mittelwert der bisherigen Augenzahlen eingetragen werden. Was denn nun?.
  • Die Streuung der Summen innerhalb einer Klasse wird mit steigendem n nach außen hin immer größer.
  • Die Verteilung entspricht einer Gaußverteilung, die mit steigendem n immer steilere Flanken bekommt(?).

Ich hoffe, die Aufgabe ist klar.

Wie du siehst, keineswegs. Vielleicht präsentierst du mal einen Ausschnitt aus der Tabelle, dann können wir vielleicht rekonstruieren, was du wirklich vorhast.
06.06.2005, 23:51 DoDirk Auf diesen Beitrag antworten »
Präzision bei unscharfem Wissen
Hi, Arthur Dent,

zunächst vielen Dank, dass Du trotz meiner Schwächen mit der Fragestellung beschäftigt und recht gut erschlossen hast, was ich möchte. Gott Ich habe auf mathematische Formalismen verzichtet, um mich nicht zu blamieren, hm...

Wie in der Problemstellung formuliert, möchte ich mit einem Prozent-Wurf (W100), also einer Zahl zwischen 0 und 101 Augenzwinkern , mathematisch exakt eine letztlich beliebige Wurfanzahl n abbilden, um langes Würfeln abzukürzen.

Es erscheint mir notwendig, das Ergebnis der Abbildung mittels einer Tabelle zu dokumentieren. Daraus folgt im Extremfall eine Tabelle mit 100 Spalten für das Wurfergebnis und n Zeilen. Ich hoffe allerdings, dass das doch etwas einfacher geht.

Mit dem missverständlichen Rest wollte ich nur mitteilen, dass ich mir schon einiges an Gedanken gemacht habe... Insbesondere das mit den Abweichungen ist eigentlich für die Aufgabe irrelevant und daher zu vergessen. In die jeweilige Zelle der Tabelle ist also ein Summenwert von Augenzahlen einzutragen, dass wäre für die 50ste Spalte ein Wert von maximal n*50.5 (ich glaube allerdings, dass der Wert kleiner sein muss).

Für die erste bzw. die letzte Spalte wäre dies aber nicht n*1 bzw. n*100, sondern ein Wert, der berücksichtigt, dass diese Extremwerte so unwahrscheinlich sind, dass zu einem Wurfergebnis von 1 bzw. 100 mehrere Summenwerte zu einem Mittelwert zusammen gefasst werden müssen, der dem gesuchten Zellenwert entspricht.
Ich vermute, dass es sinnvoll ist, hierfür alle Summenwerte zu wählen, die kleiner gleich als 99% der möglichen Summenwerte sind, also eine Wahrscheinlichkeit von 0,01 haben.
(Möglicherweise ist es bereits hinreichend, nur jeweils den zur jeweilige Wahrscheinlichkeit gehörenden Summenwert in die Tabellenzellen einzutragen.)

Ist dass besser so?
07.06.2005, 00:10 AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest eine Reihe von Zufallsgrößen, von denen eine jede eine Augenzahl mit dem W100 beschreibt. Einen fairen Würfel vorausgesetzt sind diese Zufallsgrößen also alle diskret gleichverteilt auf der Menge {1,2,...,100}. Nun interessierst du dich für den Durchschnitt der ersten n Würfe, Bezeichnung: , wobei die Summe dieser ersten n Augenzahlen kennzeichne. Im Grunde genommen suchst du die statistische Verteilung dieses . Und die liefert für große n der Zentrale Grenzwertsatz: Näherungsweise gilt

,

also die Standardnormalverteilung der links stehenden Größe. Bleibt die Berechnung von Erwartungswert und Varianz eines einzelnen W100-Wurfs:
08.06.2005, 09:23 DoDirk Auf diesen Beitrag antworten »
Den Ansatz mal probiert
Hi, Arthur,

es mag ja daran liegen, dass ich kein Handtuch dabei hatte, aber ich habe mal folgendes in Excel probiert:

  • Eine Tabelle aufgebaut mit 1 bis 50 in 5-Schritten als Spaltenkopf und Wurfanzahl 10 bis 10000 in unterschiedlich großen Schritten.
  • Den Ansatz von Dir als Gleichung aufgefasst und in die Tabellenzellen zur Berechnung eingebaut.
  • Als Summen für die Augenzahlen habe ich pro Zeile zwischen n*1 und n*50,5 linear interpoliert und der jeweiligen Zelle zugeordnet.
  • Die Gleichung nach Xn umgestellt und einfach mal Werte zwischen 0 und 1 zugewiesen.

Beide Ergebnisse konnte ich nicht sinnvoll interpretieren. Was hättest Du denn erwartet, was da raus kommt?

Gibt es eine Möglichkeit mittels Kombinatorik auszurechnen, wie oft eine bestimmte Summe (beispielsweise n*50,5) aus n Würfen zusammengestellt werden kann?

Vielen Dank für Deine Mühe.
08.06.2005, 11:35 jovi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Den Ansatz mal probiert
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann kannst du deine Tabelle mit Exel so aufbauen (mit hilfe der Noralvert. approximieren):
Sei n die Anzahl deiner Würfe,
o die Obergrenze deiner Klasse (Spalte) und u die Untergrenze deiner Klasse deren Wahrscheinlichkeit du berechnen willst -
also z.B o=51 und u=50 für die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert von n Würfen zwischen 50.0 und 51.0 liegt.
m = 50.5 und v = 833.25 (Varianz nach Arthur)
Jetzt musst du je nach n noch berechnen
Dann erhältst du dein gewünschtes Ergebnis in Exel durch
=NORMVERT(o;m;s;1) - NORMVERT(u;m;s;1) - das ist aber nur eine Approximation, also je grösser n umso genauer, bei kleinen n schlecht!
Ich persönlich würde für dein Problem eine Simulation (mit Computerprogramm) vorziehen.

@Arthur: Bitte korrigiere mich, falls ich hier Mist geschrieben habe - hab seit über 10 Jahren nihts mehr mit Normalvert. zu tun.
 Anzeige 
 
08.06.2005, 14:07 AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Den Ansatz mal probiert
Ich hab nur bei dem letzten Parameter 1 gestutzt, aber das soll ja in Excel "kumuliert" heißen, also Verteilungsfunktion statt Dichtefunktion. Und klar, ist natürlich alles richtig.
12.06.2005, 19:05 DoDirk Auf diesen Beitrag antworten »
... dann also programmieren
Hi,
ich hatte alles Mögliche mit Excel probiert, um mit dem Ansatz zu einem Ergebnis zu kommen, aber ich habe es leider nicht hinbekommen. Also habe ich es mit Nummerik probiert und ein kleines PHP-Programm geschrieben, dass alle Permutationen durchläuft und die Anzahlen aller möglichen Summen ermittelt. Da war dann bei einem w100 bei 153 Würfen wegen Zahlenbereichsüberschreitung Schluss.
Dank der zweifelnden Hinweise habe ich jetzt kapiert, was ich gemacht habe, danke. Genaueres steht in den Kommentaren im Programm.

Die Ursache für das "Quantisierungsrauschen" lag an Zahlenüberläufen aufgrund der großen Permutationsanzahl, deshalb ging die Tabelle zunächst auch nur bis 153. Jetz habe ich aber den Ansatz im Programm (Erläuterung dort) etwas geändert und erreiche letztlich (beschränkt durch die Rechenzeit) beliebige Wurfanzahlen.

http://www.use-optimierung.de/netzkram/ergliste.gif

Auf jeden Fall nochmals vielen Dank für Eure Hilfe.
12.06.2005, 23:15 AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ... dann also programmieren
Ich verstehe nicht ganz, was du mit den Werten vorhast. Was du "Quantisierungsrauschen" und "Fehler" nennst, sind normale Effekte dieses diskreten Problem. Wenn du das wegbügelst (durch Interpolation oder was auch immer), dann verfälschst du die tatsächlichen Werte bei endlicher Wurfanzahl. Wenn das deine Absicht, also schön glatte Kurven als "Beseitigung" dieser Effekte, dann kannst du auch gleich zur Normalverteilung als Grenzverteilung übergehen und dir die Aufsummiererei sparen.

Soll jetzt keine Kritik sein, aber ich verstehe echt nicht den Zweck deiner nachgeschalteten Filter.
13.06.2005, 00:18 DoDirk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ... dann also programmieren
Die Tabelle ist gedacht, um in einem Rollenspiel lange und/oder komlexe Handlungsfolgen abzubilden (in so fern ist Genauigkeit hier eigentlich nicht ganz so wichtig), die normalerweise nach den Regeln sehr viele Würfe bräuchten. Die Abweichung ist ein Zuwenig bzw. Zuviel an Punkten, die für einen Erfolg notwendig gewesen wären. Bei einer Handlung wie Zaubern könnte dann dieser Betrag durch Ausdauerpunkte, Lebenspunkte oder auch Strukturpunkte eines magischen Fokus ausgeglichen werden... Die spinnen, die Rollenspieler!

Ich vermute mal, dass meine Filter tatsächlich so etwas ähnliches wie die Normalverteilung hergestellt haben, leider konnte ich Excel mit den angegebenen Formeln und der Excel-Doku nichts Sinnvolles entlocken, daher ja die Auszählung.

Bekommst Du denn mit dem Normalverteilungsansatz gleiche Werte raus?
13.06.2005, 17:44 jovi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ... dann also programmieren
Zitat:
Die Abweichung ist ein Zuwenig bzw. Zuviel an Punkten, die für einen Erfolg notwendig gewesen wären


Irgendwie musst du die Abweichung ja bestimmt haben (Formel).
Deine Glättung finde ich auch ein wenig sonderbar.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Schulmathematik » Stochastik » Abweichung vom Durchschnitt bei Summe von n-Würfen mit 100-seitigem Würfel