Punkt auf einer Geraden!

12.01.2008, 22:59	Schahnecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt auf einer Geraden! Wie weiß ich wann ein Punkt auf einer Geraden liegt, die durch zwei andere Punkte geht. Aufgabe: Liegt der Punkt P3 (-1;2;-3) auf der Geraden, die durch P1 (3;0;4) und P2 (1;1;1) geht? Danke...
12.01.2008, 23:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
prüfe $\begin{eqnarray} \vec{P_1P_2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{P_1P_3} \end{eqnarray}$ auf lineare abhängigkeit.
12.01.2008, 23:05	Schahnecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Woran sehe ich ob sie abhängig sind oder nicht? Und was mache ich dann? Komme mit den Ebenen und Geraden irgendwie nicht klar...
12.01.2008, 23:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist völliger unsinn 2 vom nullvektor verschiedene vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sind dann und nur dann linear abhängig, wenn sie vielfache voneinander sind.
12.01.2008, 23:19	Schahnecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, klar... Sorry! Schon spät. Aber ich hab irgendwie probleme damit zu sehen, wann sie ein vielfaches von einander sind! Ich habe jetzt P1P2 = (-2;1;3) und P1P3 = ( -4;2;-7) raus... und nun?
13.01.2008, 02:53	Jin	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit hast du die Lösung doch eigentlich schon gefunden. Wenn zwei Vektoren Vielfache voneinander sind muss natürlich gelten: $\begin{eqnarray} \vec{a} = x \cdot \vec{b} \end{eqnarray}$ und auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot b_1 \\ x \cdot b_2 \\ x \cdot b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Gleichungssystem geschreiben: $\begin{eqnarray} a_1 = x \cdot b_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2 = x \cdot b_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3 = x \cdot b_3 \end{eqnarray}$ Wennn du jetzt diese 3 Gleichungen löst kommt für x nicht jedesmal das gleiche raus, also sind die Vektoren nicht linear abhängig und der Punkt liegt nicht auf der Gerade.
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13.01.2008, 12:19	Schahnecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt also, wenn für x jedesmal der selbe wert rauskommen würde, wären sie linear abhängig und würden auf der geraden liegen?
13.01.2008, 12:34	Schahnecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich richtig gerechnet habe, bekomme ich zweimal $\begin{eqnarray} x=1/2 \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} x=3/7 \end{eqnarray}$ raus. Also liegt der Punkt P3 nicht auf der Geraden?
13.01.2008, 12:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja.
13.01.2008, 12:54	Schahnecke	Auf diesen Beitrag antworten »
puh... Danke... Bin da etwas begriffsstutzig...
13.01.2008, 13:12	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
eine andere Möglichkeit wäre selbstverständlich die Gerade aufzustellen und anschließend den zu überprüfenden Punkt einzusetzen. Läuft im Prinzip auf ein ähnliches Gleichungssystem heraus.
13.01.2008, 13:16	Jin	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das auch direkt an den Vektoren sehn, bei uns in Mathe müssen wir das ned explizit ausrechnen. Nen winzigen Fehler haste trotzdem gemacht, einmal kommt für $\begin{eqnarray} x = - \frac{3}{7} \end{eqnarray}$ raus.

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