Jordan Basis

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Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan Basis
Hey, ich hoffe ihr könnte mir bei dieser Aufgabe vielleicht einen kleinen Tipp geben!

Für die Matrix A=

a) ermittele man die Jordansche Normalform
b) ermittele man die Jordan-Basis


zu a) hier habe ich erstmal die Eigenwerte ausgerechnet mit = 2i und = 0 Damit berechne ich nun die Eigenräume, für = 2i = dim 1 und für = 0 = dim 1

Ist meine Jordan Normalform dann so richtig:
J= ??

zu b) Hier bräuchte ich nun einen Tipp! Da in unserer Vorlesung gesagt wurde, dass die Basis berechnet wir, in dem man (A-aE2)(x) = 0 benutzt, allerdings würde da doch das selbe rauskommen, wie auch schon bei der Berechnung der Eigenräume, oder ich habe es falsch verstanden...
das lemma Auf diesen Beitrag antworten »

hallo erstmal,
also ich hab für das char. Pol.
i²+1 raus. merke i mal i ist nicht 2i!
Laut Vorlesung ist i²=-1. Also währe das char. Pol. = 0.
jetzt denke ich mir das lambda 0 ist. Und die dimension vom Eigenwert 0 ist 1, d.h. es gibt nur einen Jordanblock. also ergibt sich folgende Jordannormalform:


falls das falsch ist korrigiere mich bitte jemand
Gast21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!!
Also ich habe auch die gleichen Eigenwerte raus wie lamalambra...
Und bei mir kommt da nie irgendwo ein schritt wo ich i mal i rechnen muss...
Aber ich habe da ne andere Jordansche Normalform raus:

Mhh, aber weiß nun auch nihct wirklich weiter...

Wäre über Hilfe dankbar...
das lemma Auf diesen Beitrag antworten »

also berechnung einer determinante geht doch bei so einer
doch wie folgt:
Demnach kommt dann auch i mal i darin vor oder bin ich jetzt total bescheuert? Hammer
Gast21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das schon, aber man muss doch das charkteristische Polynom berechnen und das macht man ja:

det(XEn-A)

und davon die eigenwerte....

Du hast ja nur die determinante bestimmt und nicht die eigenwert...

gruß GAst21
Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte 0 und 2i stimmen. 2 Eigenwerte zu einer 2x2-Matrix => Matrix ist diagonalisierbar und man hat weniger Arbeit.
 
 
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöchen...
Also ich bin auch auf die Matrix von Gast21 gekommen.
Frag mich aber nun, ob man noch irgendwas machen muss, also dim des Eigenraums oder "Potenz" des Minimalpolynoms ausrechnen.

Persönlich denke ich, dass man doch hiermit für den ersten Teil schon fertig ist, da es doch gar keine andere Möglichkeit für eine Jordannormalform gibt, oder?

Wie das mit der Basis funktiniert weiß ich aber leider immer noch nicht, jemand nen Tip???

Gruß Krümel
Nullendomorphismus Auf diesen Beitrag antworten »

@lamalambra

Deine angegebene Matrix ist nicht in Jordanform. Schau dir einfach noch mal an was man unter der Jordanform versteht.

In diesem Beispiel ist die Sache übrigens besonders einfach, da das charakteristische Polynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
michi 110 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum
Habt ihr bei den EIgenräumen t (0,0) und s(1,i) heraus?
Ich schon und die selben EIgenwerte wie Lamalambra...
das lemma Auf diesen Beitrag antworten »

sorry habs verrafft
hab jetzt auch für lambda1 = 0 und lambda2 = 2i raus.
woher weiss ich denn ob die matrix so oder so aussieht?
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das hab ich mich auch gefragt...
Muss man hier vielleicht noch irgendwie das Minimalpolynom ausrechnen, um zu sehen welcher Block oben steht?

Für den zweiten Teil hab ich leider immer noch nicht die super Idee.
Weiß nicht so recht wie ich anfangen soll.
Stimmt es denn, dass der Vektor denn man für den Eigenraum ausgerechnet hat schon die erste Jordanbasis ist?

MfG Krümel
Takeshi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Matrix diagonalisierbar ist, kann man die Eigenwerte auf der Diagonalen anordnen, wie man will. Die angegebenen Matrizen von das Lemma wären also beide korrekt.
RK Auf diesen Beitrag antworten »

es ist egal, ob das 2i oben links oder unten rechts steht. das hängt ganz allein davon ab, wie du die eigenwerte numerierst...

Für b: man braucht zwei vektoren, die linear unabhängig sind und elemente der eigenräume. hier bietet es sich also an bei den eigenräumen einfach für die konstante jeweils 1 einzusetzen, so erhält man (i,1) und (-i,1). Dies ist die Jordanbasis. man kann testen ob die matrix aus diesen spaltenvektoren mal A mal die inverse wieder die JNF ergibt...
Gast111 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da auch mal eine Frage:
Wenn wir wissen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, gibt es ja keine Jordan-Normalform, oder?
Kann man aber trotzdem eine Jordan - Basis bilden? Wie soll das funktionieren?
Gast001 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt trotzdem eine Jordan Basis. aber die jordanblöcke haben die länge eins, bestehen aus einem Kästchen.
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin der Meinung, dass es trotz Diagonalisierbarkeit eine Jordan-Normalform gibt. Die beiden Möglichkeiten wurden auch schon vom Lemma angegeben.
Für die Jordan-Basis brauchst du eigentlich nicht viel rechnen, wenn man von beiden Eigenwerten die Eigenräume ausrechnest, dann hast du bereits 2Vektoren und mehr brauchst du ja für eine 2x2Matrix nicht.
Somit kann ich RK nur zustimmen, denn das ist auch meine Lösung...
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