Fragen zu Ableitung und Monotonie

06.06.2005, 17:39

Jan83

Fragen zu Ableitung und Monotonie

Guten Tag,
ich hab hier 2 Aufgaben mit denen ich nicht weiterkomme..
Die erste ist sicher ganz einfach, aber ich komm (mal wieder) nicht drauf.

zum ersten Suche ich diie Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^{x^x} \end{eqnarray*}$ (gemeint ist: x^(x^x))

Das kann ich ja umschreiben als $\begin{eqnarray*} x^{e^{xln(x)}} \end{eqnarray*}$ und jetzt würde ich einfach nur gern wissen, was hier meine einzelnen Funktionen zum Ableiten sind. Dachte eigentlich, das mein f(x)= $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ und mein g(x)= $\begin{eqnarray*} x^{x} \end{eqnarray*}$ ist und wollte es dann nach Kettenregel ableiten.

g'(x) = $\begin{eqnarray*} x^{x} \end{eqnarray*}$ ' = $\begin{eqnarray*} x^{x} \end{eqnarray*}$ (1+ln(x))

das weiß ich.. aber wie muss ich das alles zusammensetzen um auf die richtige Ableitung zu kommen?

Mein zweites Problem ist, dass ich für
f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \{0} -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
x |-> $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

die Intervalle angeben soll, auf denen die Fkn. monoton steigt, bzw. fällt. die Ableitung $\begin{eqnarray*} -\frac{\cos(\frac{1}{x}) }{x^{2}} \end{eqnarray*}$ hilft mir doch nicht wirklich, oder?! Ich meine die Fkn schwankt derart heftig, das ich da doch nie im Leben die Intervalle finde, wo die Monotonie wechselt, oder?

Hoffe, jemand kann mir helfen.
Gruß Jan

06.06.2005, 20:45

gargyl

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Wenn es so gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} y=(x^x)^x \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} y=x^{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=x^{x^2+1}*(2lnx+1) \end{eqnarray*}$

Wenn es so gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} y=x^{(x^x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=x^{x^2+x-1}*(x *lnx(lnx+1)+1) \end{eqnarray*}$

(Solche Rechnungen sind nur dafür da um Leute zu ärgern)

06.06.2005, 20:50

Frooke

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RE: Fragen zu Ableitung und Monotonie
Im Sinne von LOED: Ich mach mal eine Funktion draus Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x):=x^{x^x} \end{eqnarray*}$
Deine Umformung
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{\mathrm{e}^{x\ln x}} \end{eqnarray*}$
ist richtig, doch Du musst sie noch einmal machen um das x wegzukriegen unten! Versuche alles in die Basis e umzuschreiben
$\begin{eqnarray*} f(x)=\mathrm{e}^{...} \end{eqnarray*}$

Den Rest schaffst Du!

EDIT: Zu spät...

06.06.2005, 21:39

Jan83

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Danke für eure Beiträge. Was rauskommt wusst ich ja schon (dafür hat man ja MuPAD), nur verstanden hab ich's immernoch nicht.. Ist quasi "doppel"-Kettenregel, oder? Naja, muss ich mich morgen nochmal ransetzen, wenn ich ausgeschlafen habe, war heute bestimmt einfach zu müde.

Ich hab aber noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe:

Zu zeigen: cos(x) < $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ - x , für 0<x< $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Mit Mittelwertsatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)}{\frac{\pi}{2} - 0} = -sin(\xi) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} = - \sin(\xi) \end{eqnarray*}$ und muss doch irgendeine Abschätzung treffen, wenn ich mich recht entsinne.. Unser Tutor hat das im letzten Tut nicht mehr geschafft und so hänge ich auch hier ein wenig.. (blödes Aufgabenblatt diese Woche :boese smile

Gruß Jan

06.06.2005, 22:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Jan83
Mit Mittelwertsatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)}{\frac{\pi}{2} - 0} = -sin(\xi) \end{eqnarray*}$

Tut mir leid, aber ich sehe nicht, wie das weiterhelfen soll?! Ist nun die Frage, wie viel wir voraussetzen können. Ich würde es so machen:
Sei $\begin{eqnarray*} f,\, g:\left[0,\frac{\pi}{2}\right] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{\pi}{2}-x \end{eqnarray*}$ .

Dann ist auf $\begin{eqnarray*} \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f'(x)>g'(x) \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du mit dem Mittelwertsatz arbeiten!

Gruß MSS

07.06.2005, 16:13

Jan83

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Könntest du deinen Tip vielleicht noch ein wenig ausweiten? Was will ich denn mit dem Mittelwertsatz eigentlich zeigen? Mir ist irgendwie schleierhaft wozu der in diesem Zusammenhang überhaupt gut ist..

Die eine Ableitung ist f'(x)= -sin(x), die andere ja g'(x)= const = -1,
f'(c) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$
g'(c) = -1

In welchem Zusammenhang stehen beide Ableitungen? Das -sin(x) stets > als -1 ist ja klar, was weiß ich denn damit?

Bitte nochmal um Aufklärung.

07.06.2005, 17:53

etzwane

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Zitat:

...Problem ist, dass ich für f(x)=sin(1/x) die Intervalle angeben soll, auf denen die Fkn. monoton steigt bzw. fällt...

Klar ist, dass ausgehend von Extremwerten, die Funktion erstmal steigt oder fällt, entweder bis zum nächsten Extremwert oder bis zum Rand des Definitionsbereiches, einer Polstelle usw. (wenn man einmal davon absieht, dass der Funktionswert auch gleich bleiben kann). Die Idee mit der Ableitung war also gar nicht so verkehrt.

Hier zwei Schaubilder der Funktion f(x)=sin(1/x):

Zitat:

Original von Jan83
Zu zeigen: cos(x) < $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ - x , für 0<x< $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Kann man das so zeigen?

Aus $\begin{eqnarray*} \sin(x) < x \text{ für }0 < x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ (zu zeigen am Einheitskreis)
folgt mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}-x \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi}{2}-x) < \frac{\pi}{2}-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(x) < \frac{\pi}{2}-x \end{eqnarray*}$

edit: Doppelpost zusammengefügt Augenzwinkern

(MSS)

07.06.2005, 22:32

Mathespezialschüler

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@etzwane
Ja, so gehts. Wenn du vorher noch bemerkst, dass $\begin{eqnarray*} 0<\frac{\pi}{2}-x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das ok! Augenzwinkern

Aber es geht auch über den von mir angesprochenen Weg. Dazu sei $\begin{eqnarray*} h(x):=f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} h(x)=h(x)-h\left(\frac{\pi}{2}\right)=... \end{eqnarray*}$ .

Bei ... musst du den Mittelwertsatz benutzen.

Gruß MSS

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