Schwieriges Gleichungssystem mit Logarhythmen und Sinus

06.06.2005, 18:26

donkarabelas

Schwieriges Gleichungssystem mit Logarhythmen und Sinus

Also ich muss folgendes Gleichungssystem lösen:

$\begin{eqnarray*} I: x^{2}+y^{2}+25^{^5\log\sqrt{x+y}}=26 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: xy=49^{\sin{\frac{2005\pi}{6}}}+(\sin{\frac{2005\pi}{6}})^{-5} \end{eqnarray*}$

Hat jemand eine Idee für einen Lösungsvorschlag???

mfg
Elias

06.06.2005, 18:53

JochenX

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hallo, wo kommt denn dieses schmus her?
ist ja terror....

nun isoliere in der 2. gleichung x (oder y) und setze in die andere rein.
dann bekommst du eine (numerisch lösbare) gleichung nach x.

mfg jochen

06.06.2005, 20:03

donkarabelas

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glaub mir, meine Mathe-Professorin hat eine blühende Fantasie ;-)

wo wir gerade bei Terror sind, ich hab noch ein drittes(von insgesamt 7) Horror-BSP's die mir etwas unklar sind:

BSP3:
Man löse folgende Gleichung in der Menge der rellen Tripel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4xy+4y^{2}}+\sqrt{y^{2}+6y+9}=-z^{2}+4z-4 \end{eqnarray*}$

so also ich habs einmal umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{(x+2y)^{2}}-\sqrt{(y+3)^{2}}=(z-2)^{2} \end{eqnarray*}$

aber hier steige ich dann aus, was ist denn überhaupt ein reelles Tripel und wie löse ich diese Gleichung ohne weitere 2 Gleichungen????

06.06.2005, 20:08

JochenX

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das ist ein Gleichungssystem mit nur einer gleichung
reelles tripel ist ein tripel aus reellen zahlen, also (x,y,z) ist aus dem IRxIRxIR

zur sache: bestimme zunächst einen werteberecih für x,y, z danach kannst du dann x=s, y=t wählen und z(t) berechnen und dann eine zweiparametrige lösungsmenge angeben....
dabei imme auf deinen wertebereich achten

06.06.2005, 20:08

etzwane

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Hier mal mein Vorschlag:
aus der 2. Gleichung folgt, dass x*y ein Zahlenwert A ist, den man ausrechnen muss, was wegen des Sinus (sin(pi/6)=1/2) auch kein Problem ist. Also sei x*y=A.

Davon das 2-fache zur 1. Gleichung addiert, ergibt mit (x+y)^2+(...)=26+A eine Gleichung für x+y, die man wohl näherungsweise lösen muss.

Hoffentlich stimmt's soweit ....

EDIT: Schaubild korrigiert, nachdem die 5 als Basis des Logarithmus erkannt wurde, womit die graphische Näherungslösung eigentlich überflüssig wurde ...

06.06.2005, 20:14

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Zuerst mal rechne die rechte Seite von Gleichung II aus, das ist nämlich eine Konstante. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sogar eine ganze Zahl.

Und dann schreib noch mal Gleichung I richtig auf - was soll denn das ^ am Anfang desExponenten:

Zitat:

x^{2}+y^{2}+25^{^5\log\sqrt{x+y}}=26

Und mit Substitution $\begin{eqnarray*} z=x+y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=z^2-2xy \end{eqnarray*}$ . Das reicht erstmal an Tipps...

EDIT: War ich wohl etwas langsam...

EDIT2: Idee!

Der Fragesteller meint sicher

$\begin{eqnarray*} I: x^{2}+y^{2}+25^{\log_5\sqrt{x+y}}=26 \end{eqnarray*}$

Und damit sind etzwanes Befürchtungen (Näherungsverfahren) hinfällig.

06.06.2005, 20:24

donkarabelas

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Und dann schreib noch mal Gleichung I richtig auf - was soll denn das ^ am Anfang desExponenten:
x^{2}+y^{2}+25^{^5\log\sqrt{x+y}}=26

Und mit Substitution $\begin{eqnarray*} z=x+y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=z^2-2xy \end{eqnarray*}$ . Das reicht erstmal an Tipps...

Tja, ich hab versucht den Log zur basis 5 in Latex anzuschreiben, weil der so in der Angabe steht, was zum Vorteil hat das der ausdruck mit dem Log im Exponenten zu folgendem Ausdruck wird : $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{x+y} \end{eqnarray*}$ . Stimmt doch oder?

06.06.2005, 20:32

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Falls du

$\begin{eqnarray*} 25^{\log_5\sqrt{x+y}}=2\sqrt{x+y} \end{eqnarray*}$

meinst: Das ist falsch!

06.06.2005, 20:37

donkarabelas

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und wie dann, die basis hebt sich doch auf?

06.06.2005, 20:52

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Poste mal deine Rechnung - aus aufgezeigten Fehlern lernt man am besten.

06.06.2005, 21:04

donkarabelas

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tja, also ich hab mir aus Gleichung II, folgendes ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{39}{x} \end{eqnarray*}$

und dies dann in die obere Gleichung eingesetzt, ergibt:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+\frac{1521}{x^{2}}+5^{2\log_5{\sqrt{x+\frac{39}{x}}}}=26 \end{eqnarray*}$
so, die schwierigkeit hier ist ja nur den Log im Exponenten zu eliminieren, wie das geht macht mir ein paar probleme

06.06.2005, 21:20

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Eigentlich meinte ich den Teil

$\begin{eqnarray*} 25^{\log_5\sqrt{x+y}} = 5^{2\log_5\sqrt{x+y}} = 5^{\log_5\left[\left(\sqrt{x+y}\right)^2\right]} = 5^{\log_5(x+y)} = x+y \end{eqnarray*}$

07.06.2005, 21:48

donkarabelas

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ich hab die gleichung mal zu ende umgeformt:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+\frac{1521}{x^2}+x+\frac{39}{x}-26=0 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} y=\frac{39}{x} \end{eqnarray*}$ was aus der unteren gleichung folgt.

nur Problem ist: diese Gleichung hat keine Reelle Lösung!!!

hab ich einen Fehler gemacht???

07.06.2005, 23:01

etzwane

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Ich hatte etwas anders gerechnet und kam auch auf komplexe Wertepaare x,y (dachte schon, ich hätte einen Fehler gemacht).

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