Problem mit Konvergenzradius einer Potenzreihe

13.03.2004, 23:32	BoboBS	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Konvergenzradius einer Potenzreihe Moin! Bei folgender Potenzreihe komme ich einfach nicht auf den Konvergenzradius. Kann mir da vielleicht einer helfen oder einen entscheidenden Tipp geben? $\begin{align} \Bigsum_{n=0}^{\infty}~(2n+1)(2x)^{2n} \end{align}$
14.03.2004, 00:52	Drödel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Konvergenzradius einer Potenzreihe Also ich würde mal auf den Konvergenzradius 1/2 tippen... Momentchen muss es mal schnell nachrechnen .... .... please hold the line ... Jupp ist 1/2! Soll ichs dir zeigen? ;-) Na klar, oder? Also, dann lass uns mal anfangen: $\begin{align} \Bigsum_{n=0}^{\infty} (2n+1)(2z)^{2n} \end{align}$ ist ja eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $\begin{align} z_o = 0 \end{align}$ ; d.h wir müssen nur noch den Kehrwert des Limes superiors für die Koeffizenten bestimmen und schon sind wir fertig, aber es gilt: $\begin{align} \Bigsum_{n=0}^{\infty} (2n+1)(2z)^{2n} = \Bigsum_{n=0}^{\infty} (2n+1)2^{2n}z^{2n} = \Bigsum_{k=0}^{\infty} (k+1)2^k z^{k} \end{align}$ für $\begin{align} k=2n ; n \in N \end{align}$ ; womit die Koeffizienten durch $\begin{align} c_k = (k+1)2^k \end{align}$ festgelegt sind. Weiterhin gilt: $\begin{align} r = (\limsup_{k \to \infty} (\|{c_k\|)^{\frac{1}{k}} )^{-1} (\limsup_{k \to \infty} (\|(k+1)2^k\|)^{\frac{1}{k}} )^{-1}= \frac{1}{2} \end{align}$ Erster Teil des Grenzwertes konvergiert gegen 1 letzterer gegen 2, da beides im Nenner steht und die Einzelgrenzwerte existieren existiert auch deren Produkt und daraus folgt meine Behauptung Alles klar? Oder war das am Schluss zu schnell? ********** Noch was: Du kannst auch das Quotientenkriterium nutzen (Koeffizienten haste ja jetzt) , das geht ein bisserl schneller als der limsup Happy Mathing
14.03.2004, 17:21	BoboBS	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal Danke für deine Antwort! Also bis $\begin{align} c_k%20=%20(k+1)2^k \end{align}$ kapier ich das und das hat mich wohl auch entscheidend weitergebracht. Danach wird's aber unklar. Du müsstest - glaube ich - das Cauchy-Produkt verwenden statt einfach das Produkt zu bilden. Ich habe das alternativ mal so probiert: $\begin{align} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\\|c_k\\|} = \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{(k+1)2^k} = \lim_{k \to \infty} {2\sqrt[k]{(k+1)}=2=\frac{1}{r} \end{align}$ $\begin{align} \Rightarrow r=\frac{1}{2} \end{align}$ Ist das so mathematisch korrekt? Mit dem Quotientenkriterium habe ich mir einen abgebrochen, da komme ich auf keine Lösung. Diese mistigen Kongergenzradien habe ich auch noch nie im Studium ausser bei Mathe gebraucht... X(
14.03.2004, 17:42	Drödel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso Cauchy-Produkt? Du hast doch hier kein Produkt zweier unendlicher absolut konvergenter Reihen! Eigentlich musst du den limsup (größter Häufungspunkt der Zahlenfolge) und nicht den lim verwenden. Da diese Folge aber nur einen Häufungspunkt hat kannste lim, limsup oder auf liminf gleichermaßen verwenden, nur "definiert" ist der Konvergenzradius über den Kehrwert des limsup Und wieso ist Quotientenkriterium so schlimm? Wenn die Punktfolge des Betrags des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Koeffizenten (c_k / c_k+1) (bei endlich vielen verschwindenden Koeffizienten - sonst haben wir ein Problem mit der Quotientenbildung) gegen einen reellen Wert bzw. unendlich konvergiert, so ist dieser Wert der Konvergenzradius und hier ist $\begin{align} \frac{c_k}{c_{k+1}} = \frac{(k+1)2^k}{(k+2)2^{k+1}} = \frac{k+1}{2(k+2)} \end{align}$ und das das gegen 1/2 konvergiert, dass sieht man doch bei "größtem Nebel", oder ;-) Happy Mathing
21.10.2004, 14:04	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Konvergenzradius einer Potenzreihe Warum einfach wenn's auch kompliziert geht? Setze einfach $\begin{eqnarray} z:=(2x)^2 \end{eqnarray}$ Dann hast Du: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n(2k+1)z^k \end{eqnarray}$ Diese Reihe hat nach dem Quotientenkriterium offensichtlich den Konvergenzradius $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und somit hat nach obiger Substitution Deine Reihe den Kgz.-Rad. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$

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