Aufgabe vom TdM

06.06.2005, 21:06

Sciencefreak

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Aufgabe vom TdM

Mein Team hatte beim Tag der Mathematik ein arges Problem mit einer Aufgabe. man sollte beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} n*(n+1)*(n+2)...*(n+7)\neq m^4 \end{eqnarray*}$
Dabei sind n und m ganze positive Zahlen.
Der Ansatz über Teiler bringt hier meiner Meinung nach gar nichts.

Ach übrigens ist das die Aufgabe für die 9. und 10.Klasse. Deshalb verzweifle ich hier wahrscheinlich dran

Also ich habe bisher versucht das ganze durch einen Widerspruch zu lösen, aber das hat nicht geklappt. Jetzt bin ich langsam so weit und fange an eine Lösung zu suchen, aber das ist wahrscheinlich auch total sinnlos

06.06.2005, 22:00

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Betrachte $\begin{eqnarray*} k=n^2+7n+7 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} n(n+7)=k-7 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (n+1)(n+6)=k-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (n+2)(n+5)=k+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n+3)(n+4)=k+5 \end{eqnarray*}$ . Es folgt

$\begin{eqnarray*} m^4 = (k-7)(k-1)(k+3)(k+5) = k^4-42k^2-64k+105 =: f(k) \end{eqnarray*}$

Offenbar ist nur $\begin{eqnarray*} k\geq 1^2+7+7=15 \end{eqnarray*}$ von Interesse. Für diese k sollte $\begin{eqnarray*} f(k)<k^4 \end{eqnarray*}$ offensichtlich sein. Etwas schwieriger, aber nun auch nicht so kompliziert ist die andere Seite $\begin{eqnarray*} f(k)>(k-1)^4 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Was ist TdM ? Ich spekuliere mal "Tag der Mathematik".

06.06.2005, 22:04

PK

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Hab ich irgendwas übersehen, oder wie kommst du auf das k? Dient das dir als günstig gewähltes Hilfsmittel?

06.06.2005, 22:09

Sciencefreak

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Ja TdM bedeutet Tag der Mathematik. Deine Lösung ist zwar einleutend, aber ich komme irgendwie nicht auf solche Lösungen, aber ich kann beruhigt sein.
Kanntest du die Aufgabe? Ich kann mir echt nicht vorstellen, wie man so schnell auf solch verzwickte Lösungen kommt.

Die 3 anderen Starter von Brandenburg, die auch bei der DeMO mitgemacht haben, haben es auch nicht geschafft. Aber man hat mal wieder am Ergebnis gesehen, dass die Masse nicht so viel bringt. andere Schulen aus Berlin sind mit bis zu 20 Teams gestartet, aber nur jeweils ein Team aus Straußberg und Potsdam, aber diese beiden Teams haben den ersten und zweiten Platz.

Edit: Ja das k dient als günstiges Hifsmittel, aber ich bin leider nicht auf dieses Hilfsmittel gekommen

06.06.2005, 22:13

AD

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Nein, ich kannte die Aufgabe nicht. Aber einerseits 4.Potenz von m, auf der anderen Seite im "Wesentlichen" eine 8.Potenz von n, und dann diese Symmetrie n(n+7), (n+1)(n+6), ... das schreit nach solcher Art Abschätzung.

06.06.2005, 22:30

Sciencefreak

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Ich habs geschafft mich da total zu verrennen. Ich habe es einfach so aufgelöst, dass ich zwar auf nur noch gerade Potenzen gekommen bin, aber dann habe ihcm ihc total verrannt. Meine Lösung führt zum gleichen schluss wie deine. Ich habe einfach n durch m-3,5 ersetzt. Dann hat man 4 mal die binomische Formel und diese nur mit m^2 somit kommt man auch auf ein Polynom 4-ten Grade, welches deine Voraussetzungen erfüllen könnte (hab noch nicht genau gerechnet, aber stimmt in etwa) Ich komme am Ende auf
$\begin{eqnarray*} x^4-21x^3+\frac{987x^2}{8}-\frac{3229x}{16}+11025/256 \end{eqnarray*}$
Dabei kommt bei mir nur jetzt raus $\begin{eqnarray*} m^4<(x-5)^4 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} m^4>(x-6)^4 \end{eqnarray*}$
Edit:Ich glaub so geht es doch nicht. Mein Denkfehler war jetzt, dass ich x als ganze Zahl wählen muss, was aber nicht stimmt

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07.06.2005, 19:06

Sciencefreak

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Hier sind noch mal die anderen 3 Aufgaben. Viel Spass beim lösen.

Man hat 5 Längen gegeben für die gilt $\begin{eqnarray*} l_1>l_2>l_3>l_4>l_5 \end{eqnarray*}$ und man kann aus beliebigen 3 Längen immer ein Dreick herstellen
Man beweise, dass man aus diesen Seiten immer mindestens ein Dreieck herstellen kann, dass spitzwinklig ist.

In einer Stadt soll ein Buslinennetz erstellt werden, dabei soll dieses mindestens 2 Linien enthalten. Und es soll gelten
(1)Jede Linie enthält genau 3 Haltestellen
(2)Jede Linie hat mit jeder anderen Linie genau eine Haltestelle gemeinsam
(3)Man kann von jeder Haltstelle aus ohne umzusteigen jede andere erreichen
Wie viele verschhiedene Anzahlen von Buslinien sind möglich?
Da wäre ich mal auf eine Lösung von dir gespannt. Ich fand die Aufgabe ganz leicht, aber die anderen sind fast dran verzweifelt.

Zu der Parabel $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=y \end{eqnarray*}$ gibt es 3 Koordinaten die alle ganzzahlig sind. Man beweise, dass a,b und c rational sein müssen.

07.06.2005, 19:52

PK

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zu den Bussen:
ich gehe davon aus, dass die andern an der Erreichbarkeit von jeder Haltestelle von jeder Haltestelle aus ohne Umsteigen verzweifelt sind?
Denn wie geht es,mal angenommen, wir haben zwei Buslininen:
Dann haben die eine gemeinsame Haltestelle. Wenn man jetzt an einer nichtgemeinsamen Haltestelle startet, wie kommt man dann zu einer nichtgemeinsamen Haltestelle der anderen Buslinie, ohne umzusteigen?

07.06.2005, 19:54

Sciencefreak

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Somit hast du nun gezeigt, dass es mit 2 Buslinien nicht geht. Wie wäre es, wenn du noch eine zusätzliche einfügst?Einfach mal ein wenig herumprobiern. Desweiteren habe sie bei uns extra noch gesagt, dass wenn sich 2 Buslinien kreuzen dort nicht zwingend eine Haltestelle sein muss

07.06.2005, 20:04

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Die mit den Buslinien ist in der Tat am interessantesten: Durch verschiedene Abzählvarianten kriege ich für m Buslinien und n Haltestellen das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} {n \choose 2}=3m,\qquad {m \choose 2}={\frac{n-1}{2} \choose 2}\cdot n \end{eqnarray*}$

heraus, was nur die Lösungen m=1,n=3 sowie m=7,n=7 hat. Wegen m>1 kommt nur das zweite in Frage, und dafür kann man Buslinien angeben, spare ich mir hier.

Bei den Dreiecken werde ich noch etwas genauer: Mindestens eins der drei Dreiecke $\begin{eqnarray*} (l_1,l_2,l_3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (l_2,l_3,l_4) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (l_3,l_4,l_5) \end{eqnarray*}$ ist spitzwinklig.

07.06.2005, 20:12

Sciencefreak

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Das mit den Buslinien hab ich anders gemacht. Ich habe einfach bewiesen, dass in keinem Bahnhof nur 2 Linien sein können, da mindestens eine 3.exestieren muss(siehe PK) und diese 3.Buslinie hat entweder einen Bahnhof mit den beiden gemeinsam, wo die beiden anderen sind. (=>keine 2 Linien in einem Bahnhof) oder es gibt einen neuen Bahnhof den man nicht von dem Ursprungsbahnhof erreichen kann.

Es können auch keine 4 Buslinien in einem Bahnhof ankommen, da ansonsten die 5.Buslinie auch dort ankommen muss, da sie es nicht schafft mit jeder Linie einen Bahnhof gemeinsam zu haben.
Die Begründung ist auf alle Anzahlen von Buslinien größer 4 in einem Bahnhof anwendbar.

Somit gehen von jedem Bahnhof genau 3 Linien aus. Somit gibt es 7 Stationen die so direkt erreicht werden können. und 7*3/3=7 Buslinien. selbes Ergebnis wie Arthur, aber andere Lösungsvariante

07.06.2005, 20:26

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Vielleicht noch eine Erklärung zu den beiden Gleichungen. Die Menge

$\begin{eqnarray*} A := \left\{ (\{h_1,h_2\},l) \bigm| \;\mbox{Die Buslinie}\;l\;\mbox{verbindet die Haltestellen}\;h_1\;\mbox{und}\;h_2 . \right\} \end{eqnarray*}$

kann auf zwei Wegen abgezählt werden: Einmal von festem $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ausgehend, und das andere mal von festem $\begin{eqnarray*} \{h_1,h_2\} \end{eqnarray*}$ . Ganz ähnlich verhält es sich mit der zweiten Gleichung unter Nutzung von

$\begin{eqnarray*} B := \left\{ (\{l_1,l_2\},h) \bigm| \;\mbox{Die Haltestelle}\;h\;\mbox{liegt sowohl auf der Buslinie}\;l_1\;\mbox{als auch auf}\;l_2 . \right\} \end{eqnarray*}$

08.06.2005, 11:25

Sciencefreak

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Die Lösungen sind endlich online. Schau mal wie dort die Lösung für die Buslinien aufgabe aussah

Zitat:

Sei L1 eine Linie, die die drei Haltestellen B,C und D enthält. Da es
mindestens zwei Linen gibt, muss es wegen (b) eine weitere Haltestelle A geben.
Von A kann man jede Haltestelle direkt erreichen, also gibt es drei weitere Linien
L2, L3 und L4, die A mit B, C bzw. D verbinden.
Jede weitere Haltestelle auf einer der Linien L2, L3 oder L4 liegen. Angenommen es gäbe eine Haltestelle E, für die das nicht zutrifft. Dann müsste es eine Linie M durch A und E geben. Diese könnte dann K nicht treffen, weil sie Li (i = 2, 3, 4) schon
in A trifft. Bezeichne mit E, F, G die weitere Haltestellen auf L2, L3 bzw. L4. Es müssen nun z.B. noch B und F, D und F sowie C und E direkt verbunden werden wegen (c). Auf jeder dieser Linien L5, L6 bzw. L7 muss dann notwendigerweise wegen (b) und der Nichtexistenz weiterer Haltestellen G, E bzw. G liegen. Nun kann keine weitere Linie hinzugefügt werden ohne (b) zu verletzen. Man überzeugt sich leicht, dass dieses Netz tatsächlich den Bedingungen genügt

Vor allem der letzte Satz ist schön

Deine Lösung mit der 4-ten Potenz ist fast genauso im Lösungsheft zu finden, nur dass sie a genommen haben und $\begin{eqnarray*} n^2+7n+6 \end{eqnarray*}$ und nichts mit 7

Edit: Die haben uns bei der Aufgabe nur 6/10 Punkten gegeben, das finde ich nicht fair. Wir hätten eingentlich volle Punktzahl bekommen müssen. Aber gereicht hat es ja trotzdem noch. Wodrauf ich besonders stolz bin ist, dass das 2.Team 5 Punkte hinter uns ist und das waren die Leute aus Strausberg. siehe hier
Wir waren Team 6 und die erste Aufgabe war das mit den Buslinien und die 2. das mit der 4-ten Potenz

08.06.2005, 13:38

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Zitat:

Original von Sciencefreak
und die 2. das mit der 4-ten Potenz

Wohl eher die dritte Aufgabe, oder?

Schon "mutig" von den Schulen, Teams hinzuschicken, die mit 0 Punkten nach Hause zurückkehren. Sowas sollte doch vorher abzusehen sein und muss ja nicht sein. Das war doch keine "Pflichtveranstaltung" für die Schulen, oder?

08.06.2005, 14:05

Sciencefreak

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Nein. Und ich fand das es sich echt gelohnt hat. Der erste Preis waren immerhin 500€ auch wenn man die noch durch 3 teilen muste sind das mehr als genug für ein paar Stunden. Aber von manchen Schulen kam echt eine ganze Menge. Die haben bestimmt 10 mal das Hertz-Gymnasium aus Berlin aufgerufen. Aber aus meiner Schule kamen keine solche Mannschaften, die so etwas nicht fertig gebracht haben. Aber war mal wieder richtig interessant. Wir hatten uns bei der Siegerehrung schon gewundert gehabt, denn in der Rede hieß es, eine berliner Mannschaft habe den ersten Preis gewonnen. Und als dann der 3.Platz auch eine Berliner Schule war, haben wir uns schon gewundert. Aus Strausberg kamen immerhin 5 Leute und 4 von denen waren mit zur DeMO gefahren, da wundert es doch schon ein wenig und wir waren ja ziehmlich sicher, dass wir mehr Punkte hatten als sie. Aber sie haben uns dann doch beim ersten Preis aufgerufen. Bei uns an der Schule hat man uns einen Tag vor Anmeldeschluss mitgeteilt, dass es so etwas überhaupt gibt.
Ja ich habe mich da wohl irgendwie verschrieben, wir haben auf die Aufgabe mit der 4-ten Potenz nur 5 Punkzte bekommen oder sollte ich besser sagen noch Punkte Wir haben da eigentlich mit 2 oder 3 Punkten gerechnet

09.06.2005, 08:15

PK

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Schon krass, die Platzierungen und Ergebnisse....ui.
Wieso gibt es sowas in RP nicht?
Meine Schule macht noch nicht mal bei der Olympiade mit...

09.06.2005, 11:49

Sciencefreak

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Was ist RP? Meine Geographiekenntnisse sind gräßlich. Und ich glaube den gibt es fast überall. Und es war auch eigentlich der Berliner Tag der Mathematik, aber man hat den Brandenburgern erlaubt mitzumachen und jetzt sieht das immer so aus, dass Brandenburg vielleicht ein Zehntel der Teilnehmer schickt, aber über die Hälfte der Preise holt.

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