Aufgabe aus Prüfung

06.06.2005, 21:58

Die_Anna

Aufgabe aus Prüfung

Hallöchen miteinander,
wir haben in unserer Prüfung folgende Aufgabe bekommen, die ich leider nicht lösen konnte...
Aber vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.?!

Hier die Aufgabe:
Berechnen Sie das Volumen des Kugelausschnittes mit r=10,h=1,34
durch Intergration....

Lösung der Aufgabe über die Normale Formel für das Volumen einer
Kugelkappe liefert:
$\begin{eqnarray*} V=\pi *h^{2} *((\frac{d}{2})-(\frac{h}{3})) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V=\pi *1.34^{2} *((\frac{20}{2})-(\frac{1.34}{3})) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V=53.891 VE \end{eqnarray*}$
-aber wie mache ich das über Integration ?
-wie ist die Formel ?
-welche intergrationsgrenzen muss ich einsetzten ??

Danke,
für eure Bemühungen

06.06.2005, 22:03

etzwane

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Kennst du die Formel (als Integral) für das Volumen eines Umdrehungskörpers, z.B. bei Drehung der Funktion y=f(x) um die x-Achse?

06.06.2005, 22:11

Die_Anna

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Die Formel müsste etwas in die Richtung von
$\begin{eqnarray*} dV=dAdr=r^{2}*\sin(v)drdvdphi \end{eqnarray*}$
sein, wobei v der Winkel des Vektors er ist und phi der winkel, um den das Volumen um die z achse gedreht wird ... also hier zu emphelen, pi !

Das wäre die Darstellung in Kugelkoordinaten...

06.06.2005, 22:29

etzwane

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Es sollte auch einfacher gehen mit Drehung eines Kreisabschnittes um die x-Achse mit $\begin{eqnarray*} dV = \pi \cdot y^2\cdot dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y^2=r^2-x^2 \end{eqnarray*}$ und mit den Integrationsgrenzen von x=r-h bis x=r

06.06.2005, 23:05

Die_Anna

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Hier die Aufgabe:
Berechnen Sie das Volumen des Kugelausschnittes mit r=10,h=1,34
durch Intergration....

07.06.2005, 00:48

JochenX

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warum nicht einfach eine entsperchende gerade aufstellen, die der oberkante des kegels entspricht und den dann rotieren? [gerade f(x) durch (0/0) und (h/r)]

und dann gilt doch einfach $\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_0^h~f^2(x)~dx \end{eqnarray*}$

edit: möööp, hatte an kegelvolumen gedacht
tschulligung unglücklich

07.06.2005, 17:14

etzwane

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Aus $\begin{eqnarray*} dV = \pi \cdot y^2\cdot dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y^2=r^2-x^2 \end{eqnarray*}$ und mit den Integrationsgrenzen von x=r-h bis x=r folgt
$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_{x=r-h}^r (r^2-x^2)~dx=\pi [r^2x-\frac{x^3}{3}]_{x=r-h}^r \end{eqnarray*}$

Nach Einsetzen der Grenzen und etwas Rechnen erhält man wie gewünscht
$\begin{eqnarray*} V=\pi h^2(r-\frac{h}{3}) \end{eqnarray*}$ für den Kugelabschnitt=Kugelkappe.

07.06.2005, 18:18

Die_Anna

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Ahh Hilfe,

Ganz derber Fehler, Ihr verwechselt hier Kugelausschnitt mit Kugelabschnitt

Kugelabschnitt ist gerade abgeschnitten und der Ausschnitt im Prinzip mit messer bis zum Mittelpunkt und dann rotierend geschnitten
Seht das Bild:

Kugelausschnitt (Kugelsektor)
http://www.formel-sammlung.de/mathematik...laechen/g08.gif

Kugelabschnitt (Kugelsegment)
http://www.formel-sammlung.de/mathematik...laechen/g09.gif

07.06.2005, 18:26

etzwane

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Zitat:

Original von Die_Anna
Ganz derber Fehler, Ihr verwechselt hier Kugelausschnitt mit Kugelabschnitt

Darauf habe ich gewartet, denn, ich zitiere aus deiner Aufgabenstellung:

Zitat:

Lösung der Aufgabe über die Normale Formel für das Volumen einer Kugelkappe liefert:

Aber alles kein Problem, dann teilst du das Volumen eben auf in eine Kugelkappe, Volumen soeben berechnet, und in einen Kegel, dessen Volumen du mit dem Ansatz von LOED ganz genau so ermittelst.

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