Stabilität der Ruhelage

13.01.2008, 12:13	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Stabilität der Ruhelage Hi! Gegeben sei ein DGL-System der Form $\begin{eqnarray} x'(t)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} x(t) \end{eqnarray}$ Ist die Ruhelage $\begin{eqnarray} x=(0,0,0) \end{eqnarray}$ stabil? Ich habe mich zunächst an die Bestimmung der Eigenwerte gemacht... Die lauten $\begin{eqnarray} \lambda_1=0,~\lambda_2=-1,~\lambda_2=-2 \end{eqnarray}$ . Nun kann man sich ja anhand der Eigenwerte überlegen, dass es ein stabiler Knoten sein muss, da die Eigenwerte reell und kleiner Null sind. Würde das ausreichen, oder welche Aussagen lassen sich noch bezüglich des Nullpunktes machen? Noch eine andere Frage: Ist nach einer strikten Ljupanov-Funktion gesucht für ein System des gedämpften Pendels, wie geht man da am besten vor??? Danke für eure Hilfe
15.01.2008, 14:01	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stabilität der Ruhelage Sorry, obwohl ich es nicht gerne mache, muss ich nochmal pushen... Bitte um Hilfe
18.01.2008, 13:03	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stabilität der Ruhelage Hi! Da oben ja keine geantwortet hat, hier eine ähnliche Aufgabe. Da komme ich aber schon mit der Eigenwertmethode nicht weiter. Gegeben sei $\begin{eqnarray} x_1(t)'=-x_2(t)-(x_1(t)^2+x_2(t)^2-1)\cdot x_1(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2(t)'=x_1(t)-(x_1(t)^2+x_2(t)^2-1)\cdot x_2 \end{eqnarray}$ . Das in der Klammer sieht ein bisschen aus wie eine Kreisgleichung... Hat jemand eine Idee zwecks Umformung, Substitution??? Auch hier soll auf Stabilität untersucht werden. Danke für eure Tipps.
18.01.2008, 13:50	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne doch erstmal die Gleichgewichtspunkte aus...
18.01.2008, 14:03	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind doch $\begin{eqnarray} x_1(t)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2(t)=0 \end{eqnarray}$ . Sorry, aber ich steck da noch nicht so stark drin in der Stabilitätstheorie
18.01.2008, 14:13	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt die Jacobi-Matrix berechnen.
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18.01.2008, 14:37	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann erhalte ich $\begin{eqnarray} J=\begin{pmatrix} -3x_1 ^2-x_2^2+1 & -1-2x_1x_2 \\ 1-2x_1x_2 & -3x_2 ^2-x_1 ^2+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt die Gleichgewichtspunkte einsetzen???
18.01.2008, 14:44	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja. Dann die Eigenwerte...
18.01.2008, 14:50	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Ich danke dir!!! Dann ist mir das jetzt klar!

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