Winkel zwischen Normalenvektor und z-Achse?

13.01.2008, 12:46

Schahnecke

Winkel zwischen Normalenvektor und z-Achse?

Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?

Welchen Winkel schließt der Normalenvektor der Ebene E: 3x+4y+5z=6 mit der negativen z-Achse ein?

13.01.2008, 13:36

Jin

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Versuch's mal mit dem Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{y} = \mid\vec{x}\mid\cdot\mid \vec{y}\mid\cdot cos \alpha \end{eqnarray*}$

Die Formel solltest du nach Alpha auflösen können.
Den Normalenvektor kannste an der Ebenengleichung ablesen und auf den anderen sollteste auch kommen wenn du darüber nachdenkst.

13.01.2008, 13:48

yeti777

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Hallo Schahnecke!

Damit du das Skalarprodukt anwenden kannst, brauchst du den Normalenvektor der Ebene. Dazu gehst du von der folgenden Definition der Ebene aus: $\begin{eqnarray*} (\vec{r} - \vec{r_0} )\cdot \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$ . (Der Punkt bezeichnet das Skalarprodukt)

Gruss yeti

13.01.2008, 14:10

Schahnecke

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Meine Herren, ich bin heute nicht in Form. Mein Kopf ist so voll mit Sachen, habe bald Prüfung und viel zu wenig Zeit zum lernen. Ich weiß garnicht was ich mit der Aufgabe machen soll... Danke für die Tips, aber ich komm trotzdem nicht weiter...

13.01.2008, 14:32

Jin

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Woran scheiterst du denn genau?

Am Normalenvektor?
Am der negativen z-Achse?
An der Formel für den Winkel?

Versuch einfach mal deine Lösungsansätze hier darzustellen und versuch dein Problem genauer zu beschreiben.

13.01.2008, 14:40

yeti777

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Hallo Schahnecke!

Ebenengleichung in Vektorform:
$\begin{eqnarray*} (\vec{r} - \vec{r_0} )\cdot \vec{n} = 0\Rightarrow \vec{r}\cdot \vec{n}= \vec{r_0}\cdot \vec{n}\Rightarrow (x,y,z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} = n_xx+ n_yy+ n_zz= \vec{r_0} \cdot\vec{n} = konst. \end{eqnarray*}$ (1)

Vorgelegte Ebenengleichung: $\begin{eqnarray*} 3x+4y+5z = 6 \end{eqnarray*}$ (2)

(1) und (2) vergleichen und du kannst die Komponenten des Normalenvektors direkt ablesen. Für den Einheitsvektor in der negativen z-Richtung giilt: $\begin{eqnarray*} - \vec{e_z} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Du hast jetzt deine zwei Vektoren und kannst den Vorschlag von Jin auswerten.

Gruss yeti

@Jin: Sorry. War nicht online und habe nicht bemerkt, dass du dran bist.

13.01.2008, 14:41

Schahnecke

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Mein Problem ist, dass ich garnicht weiß wie ich anfangen soll. Diese kartesische Schreibweise bringt mich etwas aus dem Konzept. Ich könnte den Normalenvektor (denk ich mal) ausrechnen, ich weiß nur nicht was bei dieser Aufgabe $\begin{eqnarray*} \vec{r} und \vec{r0} \end{eqnarray*}$ sein soll. Generell weiß ich hier nicht wie ich weiter machen soll...

13.01.2008, 14:48

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Es ist völlig egal, ob mit der negativen z-Achse oder positiven, die Winkelbeziehung ist immer diesselbe ( und ob der Begriff negative bzw. positive z-Achse angebracht ist, bezweifle ich)

Du hast die Formel für die Berechnung des Winkels (siehe oben mit cosinus ).

Nun brauchst du nur noch die Vektoren.
Wie lautet der Normalenvektor der Ebene?
Wie lautet der Vektor , der bloß in Richtung z-Achse zeigt?

13.01.2008, 14:53

Schahnecke

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Ich weiß es nicht. Ich schau da drauf und sehe nichts... Wie lautet denn der Normalenvektor? Vielleicht geht mir dann ein Licht auf...

13.01.2008, 14:55

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Das ist offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.01.2008, 15:00

Jin

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Den Normalenvektor brauchst du nicht ausrechnen, du kannst ihn einfach ablesen:

Eine Ebene mit

$\begin{eqnarray*} ax+by+cz = d \end{eqnarray*}$

hat den Normalenvektor

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und einen Vektor, der in Richtung der z-Achse geht hat keine x- und y-Komponenten.
Das mit dem negativ heißt nur, dass die z-Komponente negativ ist, also kannst du zum beispiel den Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nehmen.

13.01.2008, 15:01

Schahnecke

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war mir da wegen der 6 nicht sicher...

13.01.2008, 15:02

Schahnecke

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Aaaaaahhhh... jetzt hab ichs verstanden... schäm... Hammer

13.01.2008, 15:03

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Zitat:

Original von Jin
Das mit dem negativ heißt nur, dass die z-Komponente negativ ist, also kannst du zum beispiel den Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nehmen.

Aber es ist völlig egal, ob negativ oder positiv, denn allein der Betrag zählt.

@Schahnecke
Wie geht es nun weiter?

13.01.2008, 15:14

Jin

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Es macht sehr wohl einen Unterschied, bei einem positiven z kommt nicht der eingeschlossene Winkel raus, sondern 180°- diesem Winkel.

13.01.2008, 15:16

Schahnecke

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Ähm, mit der Formel von Jin

$\begin{eqnarray*} \vec{x} * \vec{y} = \mid \vec {x} \mid * \mid \vec {y} \mid * cos \alpha \end{eqnarray*}$

mein $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ müsste ja mein $\begin{eqnarray*} \vec {n} \end{eqnarray*}$ sein und mein $\begin{eqnarray*} \vec {y} \end{eqnarray*}$ mein $\begin{eqnarray*} \vec {s} \end{eqnarray*}$

13.01.2008, 15:19

Jin

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genau

13.01.2008, 15:21

Schahnecke

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Ja, auch ein blindes Huhn findet mal ein Korn... Ich dank euh !!! Mit Zunge

13.01.2008, 15:31

Jin

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{vmatrix} =\sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}} \end{eqnarray*}$

ist klar oder?

13.01.2008, 18:34

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Zitat:

Original von Jin
Es macht sehr wohl einen Unterschied, bei einem positiven z kommt nicht der eingeschlossene Winkel raus, sondern 180°- diesem Winkel.

Die Frage ist, was du unter einem "positiven z" verstehst.

edit: Jetzt versteh ich das Problem.
Eigentlich geht es hier um die Winkelbeziehung Gerade und Ebene. Daher müsste er eigentlich die Formel
$\begin{eqnarray*} \sin{\alpha}=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{a}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{a}|} \end{eqnarray*}$
verwenden
Aber ihr fasst den Normalenvektor als eine Ursprungsgerade auf und verwendet deswegen die Formel:
$\begin{eqnarray*} \cos{\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot\vec{a}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{a}|} \end{eqnarray*}$
Dann muss man darauf achten, dass die z-Komponente der Ursprungsgerade negativ ist!

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