[Ana1] Kettenbruch und Cauchyfolge

13.01.2008, 13:40

Klappergrasmuecke

[Ana1] Kettenbruch und Cauchyfolge

Hi Leute, ich sitze hier an einer Aufgabe, die ich schon fast gelöst habe, aber beim letzten Aufgabenteil hakt's. Die Aufgabe schaut so aus:

http://img99.imageshack.us/img99/6871/zwischenablage02qf5.png

Ich habe (a) und (b) mit vollständiger Induktion gelöst, das ging. Nun habe ich aber bei (c) ein Problem. Den Grenzwert habe ich berechnet indem ich

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} x_n = \lim \limits_{n \to \infty} x_{n+1} \end{eqnarray*}$

gesetzt habe und habe dann mit pq-formel

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} x_n = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Der Wert stimmt denke ich, nur ob der Ansatz "sauber" ist weiß ich nicht.

Nun soll ich aber noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist, also

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0: |x_m - x_n|< \varepsilon ~ \forall m,n \geq N_\varepsilon \end{eqnarray*}$

Ich habe das Gefühl, dass ich Aufgabenteil (b) irgendwie dabei gebrauchen kann, allerdings bezieht er sich auf zwei direkt aufeinanderfolge Folgenglieder, aber m und n können ja auch mehr als um 1 voneinander entfernt liegen. Hat vlt. jemand einen Tipp?

Vielen Dank im Voraus, die Kappergrasmuecke.

13.01.2008, 13:56

tmo

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$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| = |(x_m-x_{m-1}) + \dotsb + (x_{n-1}-x_n)| \leq |x_m-x_{m-1}| + \dotsb + |x_{n+1}-x_n| \end{eqnarray*}$

letzteres kannst du mit hilfe von (b) abschätzen.

PS: dein errechneter grenzwert ist richtig. der goldene schnitt.

13.01.2008, 14:13

Klappergrasmuecke

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danke für deine hilfe, tmo!

mein versuch:

$\begin{eqnarray*} |x_m-x_n| = |(x_m-x_{m-1}) + \dotsb + (x_{n-1}-x_n)| \leq |x_m-x_{m-1}| + \dotsb + |x_{n+1}-x_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{m-2}+ \left( \frac{1}{2} \right)^{m-3}+ \dotsb + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}=\sum \limits _{k =m-2}^{n-1} \left( \frac{1}{2} \right)^k < \varepsilon ~ \forall m,n \geq N_\varepsilon \end{eqnarray*}$

muss der letzte schritt, also die Folgerung, dass es kleiner als Epsilon sein muss noch genauer begründet werden oder passt das so?

13.01.2008, 14:28

tmo

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du solltest beim summenzeichen noch (m-2) und (n-1) vertauschen.

dass das kleiner als epsilon ist, folgt ja direkt aus der konvergenz der geometrischen reihe und muss eigentlich nicht weiter begründet werden.

13.01.2008, 21:09

Klappergrasmuecke

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Zitat:

Original von tmo
du solltest beim summenzeichen noch (m-2) und (n-1) vertauschen.

dass das kleiner als epsilon ist, folgt ja direkt aus der konvergenz der geometrischen reihe und muss eigentlich nicht weiter begründet werden.

du hast recht, danke smile

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