Konvergenz von sum[k =0->infinity] 1/(k^m) für m € R

13.01.2008, 14:14	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von sum[k =0->infinity] 1/(k^m) für m € R Hi Leute, ich habe hier eine Aufgabe, die ich mal wieder nur halb lösen konnte ... http://img522.imageshack.us/img522/5766/zwischenablage02ge0.png Ich konnte zwar den Grenzwert $\begin{eqnarray} \sum \limits _{k =0}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}=1 \end{eqnarray}$ bestimmen (damit habe ich dann auch die Konvergenz gezeigt oder?), allerdings weiß ich nicht wie ich das auf $\begin{eqnarray} \sum \limits _{k =0}^{\infty} \frac{1}{k^m} \end{eqnarray}$ übertragen kann. Wäre über jede Hilfe dankbar! Gruß, die Klappergrasmuecke
13.01.2008, 14:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
für $\begin{eqnarray} m \geq 2 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} k^m \geq k^2 \geq k(k-1) \end{eqnarray}$
13.01.2008, 21:12	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
mmh, aber $\begin{eqnarray} k(k-1) \end{eqnarray}$ kommt ja oben nicht vor sondern $\begin{eqnarray} k(k+1) \end{eqnarray}$ . ich verstehe deinen tipp glaub ich nicht...
13.01.2008, 21:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist wegen $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray}$ aber nicht von weiterer bedeutung.
14.01.2008, 17:03	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt dankeschön
14.01.2008, 17:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann es natürlich auch nur mit k(k+1) machen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \leq \frac{2}{k^2+k} \end{eqnarray}$
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16.01.2008, 20:58	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Eine frage hab ich noch. Da steht: "Zeigen sie, dass die Reihe konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert." Ich hab den Grenzwert mit dem Tip berechnet, muss ich trotzdem noch vorher zeigen, dass die Reihe konvergiert?
16.01.2008, 21:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
eine reihe, die einen grenzwert besitzt, konvergiert per definition. wenn du den grenzwert berechnet hast und dabei lückenlos argumentiert hast, dann reicht das.
16.01.2008, 21:07	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, tmo

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