Aufstellen einer Funktion

13.01.2008, 14:17

Flokaty

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Aufstellen einer Funktion

Hallo zusammen
Ich hab ein rießen Problem bei folgender Aufgabe, ich weiß noch nicht einmal wo ich anfangen soll verwirrt

verwirrt

Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph druch den urpsrung geht und den terassenpunkt T(2;2) hat.
Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das herausbekommen soll....
Für Hilfe und erklärungen wär cih echt sehr sehr dankbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2008, 14:20

derkoch

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RE: Aufstellen einer Funktion
1.) Bedingung:
Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

2.)Bedingung:
...deren Graph druch den urpsrung geht

3. + 4.)Bedingung:
..und den terassenpunkt T(2;2) hat.

13.01.2008, 14:27

Flokaty

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ja nur hilft mir das leider auch nicht weiter.... wie soll ich überhaupt anfangen?

13.01.2008, 14:28

TyrO

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Wie sieht eine FUnktion 3.Grades allgemein aus??
Wie viele Variablen hast dudrin?

13.01.2008, 14:52

Flokaty

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F(x)= ax³+bx²+cx+d ??

wenns stimmt, wie soll cih auch die ganzen varibalen kommen verwirrt

verwirrt

13.01.2008, 15:11

TyrO

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Stimmt. Jetzt hat deine Funktion ein paar Bedingungen zu erfüllen.
Z.B. soll die durch den Ursprung gehen usw. Die musst du nun verwenden, um dann die endgültige Funktion berechnen zu können.

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13.01.2008, 15:53

Flokaty

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verläuft durch den urpsrung bedeutet dass, dass das d wegfällt? wenn ja wie gehts dann weiter? bitte nicht mit Gauß, den kann ich net Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2008, 16:09

TyrO

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Gut

Freude

Jetzt musst du dir überlegen, was ein Terassenpunkt sein soll?
Welche Bedingungen er haben muss und wie man das auch schön formal und mathematisch korrkt schreiben kann.

13.01.2008, 16:15

Flokaty

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terassenpunkt.... ist ja ne dreifache nullstelle? aber der punkt hier liegt ja bei 2;2 also ist er keine nulstelle.. das verwirrt mich ein bisschen unglücklich

unglücklich

13.01.2008, 16:30

TyrO

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Genau und was ist denn da alles Null.
Welche Ableitungen?

Es gibt doch auch Extrempunkte, die bei P(4;4) liegen.
Die Null muss da nicht immer mitspielen.

13.01.2008, 20:48

Flokaty

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also brauch ich die 1. Ableitung stimmt das? aber wie soll ich die machen ich hab ja die variablen nicht ausgerechnet....

13.01.2008, 21:05

TyrO

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F(x)= ax³+bx²+cx+d

F'(x)= 3ax²+2bx+c

F''(x)= 6ax+2b

Terassenpunkt hat 2 wichtige Bedingungen.

13.01.2008, 21:07

Flokaty

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ah ok vielen dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

also 2 wichtige bedingungen? muss er nicht nur eine 3fache Nullstelle haben?

13.01.2008, 21:29

TyrO

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Nein. Sonst wär doch der y-Wert gleich Null.

F'(2)=0
F''(2)=0
F(2)=2
F(0)=0

Das sind deine 4 Bedingungen. Ich hoffe das schaffst du allein.
Bis morgen oder so.

14.01.2008, 18:58

Flokaty

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ok ich weiß nur absolut nicht was ich weiter damit anfangen soll... unglücklich

unglücklich

tut mir leid aber ich bin was mathe betrifft ein hoffnungsloser fall verwirrt

verwirrt

14.01.2008, 20:44

Verdo

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okay, ein Terassenpunkt nennt man auch Sattelpunkt, es handelt sich dabei nicht zwingend um eine 3fache Nullstelle. Der Terassenpunkt ist ein besonderer Wendepunkt mit einer waagrechten Tangenten.
Welche Bedingungen muss ein Wendepunkt denn erfüllen? (im Zusammenhang mit den Ableitungen)

14.01.2008, 20:57

Elvira1989

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f''(x)=0
f'''(x)≠0

14.01.2008, 20:58

Elvira1989

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sollte eigentlich heissen: f'''(x) ungleich 0

14.01.2008, 21:03

Louisa

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mit den 4 Bedingungen die dir TyrO aufgezählt hat, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen. Dieses musst du doch dann nur noch nach a,b und c auflösen, dann hast du deine Funktion..

14.01.2008, 21:14

Verdo

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genau, und damit ein Punkt eine Waagerechte Tangente hat, muss er eine Steigung von 0 haben, also f'(xw)=0 wenn also diese 3 Bedingungen erfüllt sind, ist der Punkt ein Terassenpunkt.
d.h. aus dem Terassenpunkt (2;2) kannst du folgendes herausfinden:
f''(2) = 0
f'''(2) ungleich 0
und f'(2)=0
dies musst du jetzt nur richtig einsetzen und du hast genügend, Gleichungen, um jeweils nach a, b und c aufzulösen.

17.01.2008, 19:56

Limonade

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Zitat:

d.h. aus dem Terassenpunkt (2;2) kannst du folgendes herausfinden:

Zitat:

f'''(2) ungleich 0

da musst du dich vertun, denn wenn $\begin{eqnarray*} f'''(x) \end{eqnarray*}$ ungleich 0 dann liegt ein wendepunkt vor

das kreterium für einen Sattelpunkt oder Terassenpunkt ist, dass die zweite und dritte Ableitung gleich 0 ist

17.01.2008, 20:38

Limonade

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Zitat:

Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph druch den urpsrung geht und den terassenpunkt T(2;2) hat.

allg. Gleichung einer Funktion 3. Grades:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax³ + bx² + cx +d \end{eqnarray*}$

2 Bedingungen:

1.) der Graph soll durch den Ursprung gehen $\begin{eqnarray*} (0/0) \end{eqnarray*}$

2.) Und hat den Terassenpunkt $\begin{eqnarray*} (2/2) \end{eqnarray*}$

aus der Information "terassenpunkt" können wir 3 informationen entnehmen.

1.) Für $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ ist der $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wert 2

2.) Für $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ ist der Wert der 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = 3ax² + 2bx + c \end{eqnarray*}$ gleich 0 (da beim Terassenpunkt die Steigung gerade 0 ist)

3.) Für $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ ist der wert der 2ten ableitung gleich 0

da wir aber 4 Variablen haben, die wir suchen (a, b, c, d) brauchen wir auch 4 informationen.

4.) die letzte info nehmen wir aus der Ursprungs info, denn der graf soll durch $\begin{eqnarray*} (0/0) \end{eqnarray*}$ gehen.

damit haben wir alle 4 Infos.

nun stellt man gleichungen auf aus den informationen, die wir haben. ich mache mir dazu immer ein tabelle.

1.) $\begin{eqnarray*} a*2³ + b*2² + c*2 + 1d = 2 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} a*3*2² + b*2*2 + 1*c + 0*d = 0 \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} a*6*2 + 2*b+ 0*c + 0*d = 0 \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} a*0³ + b*0² + c*0 + 1d = 0 \end{eqnarray*}$

Nun folgt die Matrixdarstellung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 & 4 & 2 & 1 & 2 \\ 12 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 12 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach dem Diagonalisieren erhält man:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also müsste die gleichung nach der matrix eigentlich $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ sein...

17.01.2008, 20:38

Limonade

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irgendwie stellt der die matrix nicht dar..

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