eine diffbare fkt.

13.01.2008, 16:07

wanoek

eine diffbare fkt.

hey leute,

sei $\begin{eqnarray*} f : (-1,1)\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare fkt. ... man soll beweisen oder widerlegen :

sei $\begin{eqnarray*} f'(0)>0 \end{eqnarray*}$ , dann ex. ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} f|_{[-\epsilon,\epsilon]} \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist.

nun da die ableitung existiert und an der stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ größer null ist und $\begin{eqnarray*} -\epsilon<0<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt für den differenzenquotienten nach dem mittelwertsatz:

$\begin{eqnarray*} f'(0)=\frac{f(\epsilon)-f(-\epsilon)}{\epsilon-(-\epsilon)}>0 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt

$\begin{eqnarray*} f(\epsilon)>f(-\epsilon) \end{eqnarray*}$

also ist f auf diesem intervall monoton steigend ... wo mache ich hier einen fehler ??

13.01.2008, 17:07

tmo

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daraus folgt noch nicht monotonie.

du könntest so ansetzen:

es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} > 0 \end{eqnarray*}$

daraus kannst du folgern, dass für kleine x gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)>f(0) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x >0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)<f(0) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x <0 \end{eqnarray*}$

zusammen mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=f(0) \end{eqnarray*}$ (stetigkeit), kannst du nun monotonie folgern.

13.01.2008, 18:09

Abakus

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Was sagt ihr zu folgendem Beispiel ?

Grüße Abakus smile

13.01.2008, 18:20

wanoek

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was ist das für eine fkt. ?
$\begin{eqnarray*} SIN(1/x)x^2 + a\cdot x \end{eqnarray*}$ ?

13.01.2008, 18:23

tmo

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hmm stimmt. gutes beispiel.

wenn ich mich nicht irre, müsste man fordern, dass die ableitung auch stetig ist, damit die aussage wahr wird.

13.01.2008, 18:40

Abakus

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Zitat:

Original von wanoek
was ist das für eine fkt. ?
$\begin{eqnarray*} SIN(1/x)x^2 + a\cdot x \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe a=0,001 gewählt hier. Ggf. lassen sich ähnliche, andere Beispiele bilden. Die Eigenschaften dieser Funktion stehen jedenfalls erstmal zur Diskussion.

Grüße Abakus smile

13.01.2008, 18:57

tmo

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$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ sollte man noch definieren, bevor man die funktion untersucht.

13.01.2008, 20:03

SilverForce

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Zitat:

Original von tmo
daraus folgt noch nicht monotonie.

du könntest so ansetzen:

es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} > 0 \end{eqnarray*}$

daraus kannst du folgern, dass für kleine x gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)>f(0) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x >0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)<f(0) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x <0 \end{eqnarray*}$

zusammen mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=f(0) \end{eqnarray*}$ (stetigkeit), kannst du nun monotonie folgern.

wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist die Ableitung dann auch stetig?

13.01.2008, 20:04

wanoek

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d.h. damit die aussage gilt, muss f stetig differenzierbar sein ... ... ...

bei diesem beispiel ... man findet immer ein kleineres $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ größer null, s.d. die funktion in dem intervall $\begin{eqnarray*} [-\epsilon,\epsilon] \end{eqnarray*}$ , etwas lax ausgedrückt, nicht nur monoton steigt bzw. nicht streng monoton steigt ... versteh ich das richtig ?

13.01.2008, 20:35

tmo

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erstmal solltest du zeigen, dass diese funktion differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} f'(0)=0.001 \end{eqnarray*}$ ist.

13.01.2008, 20:50

wanoek

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nun für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist sie als kombination von diffbaren funktion diffbar:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x\cdot sin(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x}) + 0.001 \end{eqnarray*}$

für null setzt man die null, wie du es schon gesagt hattest ... für die ableitung bei null versteh ich das noch nicht ganz, denn :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}f'(x)=sin(\infty) + 0.001 \end{eqnarray*}$

wieso ist es denn gleich 0,001 bei null ?

13.01.2008, 20:58

tmo

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$\begin{eqnarray*} f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$

warum vergisst eigentlich jeder die definition der ableitung, nur weil es so schöne ableitungsregeln gibt? verwirrt

13.01.2008, 21:10

wanoek

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ok stimmt ... ich habe jetzt eine differenzierbare funktion, deren ableitung bei null größer null ist ...

13.01.2008, 21:17

tmo

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jetzt gilt es halt zu zeigen, dass es kein intervall $\begin{eqnarray*} [-\epsilon,\epsilon] \end{eqnarray*}$ gibt, indem sie streng monoton steigend ist.

es reicht ja schon zu zeigen, dass es kein intervall $\begin{eqnarray*} [0,\epsilon] \end{eqnarray*}$ gibt.

dazu könntest du mal die nullfolge $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{\pi n + \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ betrachten.

14.01.2008, 00:24

wanoek

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d.h. ich muss mit der nullfolge zeigen, dass für bestimmte n mit $\begin{eqnarray*} x_n>x_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_n)\leq f(x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ gilt ?

14.01.2008, 00:56

Abakus

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Widerlegen müsstest du die Monotonie in jeder Nullumgebung. D.h. eine Nullfolge, deren Funktionswerte (von den Folgengliedern) zB abwechselnd hoch und runter "hüpfen", wäre ein interessanter Fund.

Also teste die Funktionswerte von tmo's Folge einfach mal aus.

Grüße Abakus smile

14.01.2008, 01:20

wanoek

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ja gut ... aufgrund der sinusfunktion hat man für ungerade n :

$\begin{eqnarray*} sin(\pi n+\frac{1}{2})=-1 \end{eqnarray*}$
und gleichzeitig
$\begin{eqnarray*} sin(\pi (n+1)+\frac{1}{2})=1 \end{eqnarray*}$

nimmt man $\begin{eqnarray*} f(x_n)>f(x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ an ... also f streng monoton steigend, sieht man, wenn man die ungleichung mit der nullfolge durchrechnet, dass es nicht stimmt ... also ist die funktion für diese n nicht str. monoton steigend ...

ist der ansatz so richtig ?

14.01.2008, 02:35

Abakus

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Zunächst musst du n hinreichend groß machen, damit deine Folgenglieder in der vorgegebenen Epsilon-Umgebung von 0 liegen. Wenn du dann die Monotonie widerlegt hast, bedeutet dies, dass f in keiner Nullumgebung monoton steigend ist.

Grüße Abakus smile

14.01.2008, 02:49

wanoek

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wie mache ich das ?
betrachte ich :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to N} f(x_n) \end{eqnarray*}$ für ein genügend großes N ...

was mach ich dann ? ich sehe es ja ein, dass die funktion um den nullpunkt "hin und her" springt ... wie zeige ich das formal ?

14.01.2008, 04:30

wanoek

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oder gehe ich so vor:

sei n genügend groß, s.d. $\begin{eqnarray*} x_n<\epsilon \end{eqnarray*}$ . sei n gerade (bzw. ungerade) dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x_n)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{n+1})<0 \end{eqnarray*}$

(bzw. $\begin{eqnarray*} f(x_n)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{n+1})>0 \end{eqnarray*}$ )

für $\begin{eqnarray*} f(x_{n+2}) \end{eqnarray*}$ muss demnach gelten:

$\begin{eqnarray*} f(x_{n+2})>0 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} f(x_{n+2})<0 \end{eqnarray*}$ )

dies bedeutet aber, dass: $\begin{eqnarray*} f(x_{n+2})>f(x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} f(x_{n+2})<f(x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ ) was der strengen monotonie widerspricht ...

hm ... dies würde für $\begin{eqnarray*} x^2\cdot sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ gelten, da gilt aber die bedingung für die ableitung nicht ... s.ä. muss es doch auch für diesen fall gehen oder nicht ?

d.h. bei dem beispiel $\begin{eqnarray*} x^2\cdot sin(\frac{1}{x})+\frac{x}{1000} \end{eqnarray*}$ "springen" die werte um die nullfolge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1000(\pi n+\frac{\pi}{2})} \end{eqnarray*}$ , s.d. es werte gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x_n)>f(x_{n+1})<f(x_{n+2}) \end{eqnarray*}$

14.01.2008, 21:41

Abakus

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Zitat:

Original von wanoek
dies bedeutet aber, dass: $\begin{eqnarray*} f(x_{n+2})>f(x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} f(x_{n+2})<f(x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ ) was der strengen monotonie widerspricht ...

Das ist das, was du einmal sauber zeigen müsstest, d.h. rechne etwa $\begin{eqnarray*} f(x_{n+2}) - f(x_{n+1}) \end{eqnarray*}$ aus, und zeige, dass die Differenz positiv ist.

Alternativ dazu könntest du die Folge $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit Folgengliedern $\begin{eqnarray*} y_n := \frac{1}{\pi n} \end{eqnarray*}$ betrachten und diese Werte einmal in die Ableitung einsetzen. Wenn du zeigen kannst, dass die Ableitungswerte abwechselnd positiv und negativ sind, weißt du (weil die Ableitung in kleinen Umgebungen der Folgenglieder stetig ist), dass f dort streng monoton steigt bzw. fällt. Das reicht mit geeigneter Argumentation aus.

Grüße Abakus smile

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