Abbildungsmatrix

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Moeki Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix
Gegeben ist eine Funktion





Die Basis bezüglich der Eingabe in ist .

Die Basis bezüglich der Ausgabe in ist die Standardbasis des .

Wie bestimme ich die Abbildungsmatrix bezüglich dieser Basen und ?


Indem ich die Vektoren der Basis des in f einsetze, erhalte ich die Abbildungsmatrix und brauche diese nur noch mit dem Vektor zu multiplizieren, aber die Funktion habe ich ja nicht.

Wie komme ich auf die Funktion? Mit Hilfe eines Gleichungssystems?

Danke, Moeki. Hilfe
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Bei einer linearen Abbildung ist jede Komponente des Bildes eine Linearkombination aus den Komponenten des Urbildes:

Moeki_Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hiermal meine Ergebnisse. Den Lösungsweg poste ich dann, wenn ich mehr Zeit habe.



\begin{pmatrix} 9 \\ \frac{19}{2} \\ 17 \end{pmatrix}

Korrekt? Hammer
Tovok7 Auf diesen Beitrag antworten »

Aehm... liege ich jetzt ganz falsch, wenn ich behaupte, dass man bei dieser Aufgabe die genaue Funktion gar nicht kennen muss, weil die Abbildungsmatrix ja schon durch und als gegeben ist?
Moeki schreibt doch selbst:
Zitat:
Indem ich die Vektoren der Basis des in einsetze, erhalte ich die Abbildungsmatrix
Und das ist ja quasi schon vorgegeben, oder?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aehm... liege ich jetzt ganz falsch, wenn ich behaupte, dass man bei dieser Aufgabe die genaue Funktion f gar nicht kennen muss, weil die Abbildungsmatrix ja schon gegeben ist.


Das kommt drauf an in welchen Basen du die Abbildungsmatrix angibst. Deshalb haben wir für die Abbildungsmatrix damals folgende Notation gehabt:

. Dann werden die Basisvektoren von B auf die Kooerdinatenspalten bezüglich der Basisvektoren von B' abgebildet.
Moeki Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier jetzt mal die beiden angesprochenen Lösungsmöglichkeiten, die Aufgabe ist ja klar.

1)


liefert mir direkt die Abbildungsmatrix für die gegebene Basis bezueglich der Eingabe in

Also .



2)



Wenn ich da die Vektoren der Bais bezüglich der Eingabe in einsetze, erhalte ich 3 mal 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.


















Daraus folgt unsere Abbildungsmatrix .

.

Was ist nun richtig? Oder beides falsch?
 
 
Dukie Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte schon in der GDP-Vorlesung ein paar Hinweise gegeben:

Zitat:
Original von Moeki



Das löst nicht die Aufgabe. Richtig geht es unter Ausnutzung der Linearität von f und des Bekannten:



Zitat:
Original von Moeki
2)



Woher du auch immer diese Gleichung hast. Sie ist falsch. Ich habe hier mal die rechte Seite korrigiert:



Wie dieses Wissen aber zur Lösung führt, ist mir unbekannt. Der richtige Weg lautet wie folgt:

Die Spalten der darstellenden Matrix nach Basiswechsel sind gerade die Bilder der Basisvektoren. Auch hier brauchen wir nicht lange nachdenken, denn diese sind schon gegeben. Die darstellende Matrix nach Basiswechsel ist also gerade

Chrischi, euer Informatik & Mathematik Lehramtstudent
Moeki Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

also ich kann das nicht in bezug dazu stellen, was wir in der uebung gemacht haben.
Dukie Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ich war natürlich nicht in deiner Übung.

So, wie mir eure Aufgaben mitgeteilt wurden, hast du 2 Werte aus R^2 und ihr Bild aus R^3 gegeben. Gesucht ist das Bild eines weiteren gegebenen Element aus der Urbildmenge und die darstellende Matrix bzgl. einer gegebenen Basis.
Tovok7 Auf diesen Beitrag antworten »

Was Moeki meint, ist glaube ich, dass man durch Einsetzen der Basiselemente des Urbildvektorraumes in die Abbildungsfunktion die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix erhalten sollte. Was bei dieser Aufgabe ja offensichtlich nicht funktioniert.
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Beachtet die Basis, die eurer Abbildungsmatirx zu Grunde liegt. Wenn wir die Abbildujgsmatrix nehmen, dann dürfen wir nicht einfach den Vektor (5 6)^t dranmultiplizieren sondern müssen seine Koordinatenspalte bezüglich der Basis der Abbildungsmatrix multiplizieren:




Also:

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