Oberflächeninhalt über Anwendung der Integralrechnung

07.06.2005, 13:04

careysteph

Oberflächeninhalt über Anwendung der Integralrechnung

Ich habe Probleme bei der integration einer bestimmten Funktion. Es geht um die Rotation der Sinus-Kurve (sin(x)) um die x-Achse von 0 bis Pi. Das Volumen habe ich bereits berechnet. Nun brauche ich nur noch den Oberflächeninhalt.
D.h. ich bleibe hier stehen:

$\begin{eqnarray*} 2\pi * \int_{0}^{\pi}~\sin(x)*\sqrt[2]{1+\cos^{2}(x)}~dx \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution ( u= cos x ) komme ich dann noch dahin (wohlmöglich Fehler?):

$\begin{eqnarray*} -2\pi * \int_{0}^{\pi}~\sqrt[2]{1+ u^{2}} ~du \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie ich das Integral löse. Gibt es da vielleicht einen Tipp?

MfG

07.06.2005, 13:38

Papam Benedictus XVI.

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RE: Oberflächeninhalt über Anwendung der Integralrechnung
Hi!

Also ohne die Substitution nachgerechnet zu haben, fehlt auf jeden Fall die Ersetzung von dx.

Also $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ bilden, nach $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ umformen und einsetzen. Wenn dann alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wegfallen, ist dein Ansatz richtig, wenn nicht, solltest du noch was anderes ausprobieren, z. B. $\begin{eqnarray*} u=1+cos^2(x) \end{eqnarray*}$ .

07.06.2005, 14:08

careysteph

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RE: Oberflächeninhalt über Anwendung der Integralrechnung
Das $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ war ein Tippfehler.

Mit deinem Vorschlag würde zumindest die Integration funktionieren, allerdings kommt dann beim Oberflächeninhalt 0 heraus, da der Cosinus von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und 0 gleich ist.

Würde es denn auch mit $\begin{eqnarray*} u = \cos(x) \end{eqnarray*}$ gehen?
Das ist ein Hinweis im Aufgabenblatt.

07.06.2005, 15:19

Leopold

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RE: Oberflächeninhalt über Anwendung der Integralrechnung

Zitat:

Original von careysteph
$\begin{eqnarray*} -2\pi * \int_{0}^{\pi}~\sqrt[2]{1+ u^{2}} ~du \end{eqnarray*}$

Du mußt auch noch die Integrationsgrenzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Grenzen auf $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Grenzen umrechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_1^{-1} \ldots \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt die Integrationsgrenzen vertauschst, löst sich das Minuszeichen vor dem Integral auf. Das Integral selbst ist ein Standardintegral, du findest es in jeder Formelsammlung. Wenn du es selbst lösen willst, so substituiere $\begin{eqnarray*} u = \sinh{t} \end{eqnarray*}$ und beginne mit partieller Integration. Beachte dabei die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} \cosh^2{u} - \sinh^2{u} = 1 \end{eqnarray*}$ . Du kannst aber auch die Suchen-Funktion des Boards verwenden. Dieses Integral wurde hier schon mehrfach behandelt. Stichworte: Hyperbelfunktionen, Areafunktionen, arsinh, arcosh usw.

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