Erwartungswert am Einheitskreis

13.01.2008, 23:00

Gamel

Erwartungswert am Einheitskreis

Hallo!

Ich wollte gerade der Erwartungswert für eine Koordinatenfunktion berechnen, wobei der Winkel eingegeben wird und der Koordinatenpunkt auf den Einheitskreis ausgegeben wird, also:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich den Erwartungswert der Funktion $\begin{eqnarray*} f(\alpha) \end{eqnarray*}$ berechnen, wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine gleichverteilte Wahrscheinlichkeitsvariable in einen gegebenen Intervall ist. Hierbei bekomme ich allerdings merkwürdige Ergebnisse, und nun stellts ich mir die Frage, ob hier ein Denkfehler oder ein Rechenfehler vorliegt.

Der Erwartungswert einer Funktion berechnet sich wie folgt:

$\begin{eqnarray*} E[f]=\int_{\alpha_{min}}^{\alpha_{max}}p(\alpha)f(\alpha)d\alpha \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gleichverteilt ist, gilt nun

$\begin{eqnarray*} p(\alpha)=\frac{1}{\alpha_{max}-\alpha_{min}} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} E[f]=\int_{\alpha_{min}}^{\alpha_{max}}\frac{1}{\alpha_{max}-\alpha_{min}}\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}d\alpha \end{eqnarray*}$

und weiter

$\begin{eqnarray*} E[f]=\frac{1}{\alpha_{max}-\alpha_{min}}\int_{\alpha_{min}}^{\alpha_{max}}\begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}d\alpha \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \sin' \alpha = \cos \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\cos' \alpha = \sin \alpha \end{eqnarray*}$ gilt dann nach dem Integrieren

$\begin{eqnarray*} E[f]=\frac{1}{\alpha_{max}-\alpha_{min}} \left[\begin{pmatrix} \sin \alpha \\ -\cos \alpha \end{pmatrix}\right]^{\alpha_{max}}_{\alpha_{min}} \end{eqnarray*}$

und weiter

$\begin{eqnarray*} E[f]=\frac{1}{\alpha_{max}-\alpha_{min}} \begin{pmatrix} \sin \alpha_{max} - \sin \alpha_{min} \\ -\cos \alpha_{max} + \cos \alpha_{min} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ganze wollte ich nun mal testen, wozu ich mir einen relativ kleinen Bereich mit $\begin{eqnarray*} \alpha_{min}=29 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_{max}=30 \end{eqnarray*}$ (jeweils in Grad) gewählt habe:

$\begin{eqnarray*} E[f]=\frac{1}{30-29} \begin{pmatrix} \sin 30 - \sin 29 \\ -\cos 30 + \cos 29 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.5 - 0.4848 \\ -0.866 + 0.8746 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.0151 \\ 0.0086 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Koordinaten liegen nun aber ganz und gar nicht mehr auf dem Einheitskreis, sondern haben nur einen Abstand von $\begin{eqnarray*} 0,017 \end{eqnarray*}$ vom Koordinatenursprung, während der Winkel noch zwischen 29 und 30 Grad liegt. Warum ist also der Erwartungswert so weit weg von der Funktion f?

Viele Grüße und danke fürs Überlegen
Thomas

13.01.2008, 23:06

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gamel
Das ganze wollte ich nun mal testen, wozu ich mir einen relativ kleinen Bereich mit $\begin{eqnarray*} \alpha_{min}=29 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_{max}=30 \end{eqnarray*}$ (jeweils in Grad) gewählt habe:

Da ist er schon, der Fehler: Verwende durchgehend Bogenmaß, dann klappt es. Also

$\begin{eqnarray*} \alpha_{\min}=29\cdot \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_{\max}=30\cdot \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ .

Übrigens ist es aber normal, dass der Erwartungswert im Innern des Einheitskreises liegt. Für den Vollkreis, also $\begin{eqnarray*} \alpha_{\min}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_{\max}=2\pi \end{eqnarray*}$ liegt der Erwartungswert sogar genau im Ursprung!

13.01.2008, 23:30

Gamel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das hatte ich übersehen. Der Bruch vorne wird dadurch nicht eins, sondern deutlich größer. Dass das Ergebnis nicht genau auf dem Kreis liegt, war mir schon klar, denn wenn man den Durchschnitt aller Kreispunkte nimmt, landet man halt wieder in der Mitte...

Jetzt frage ich mich, ob mir das Ergebnis hilft...

Ich habe ein Lokalisierungsproblem, dass ich mit Hilfe dieser Sache lösen wollte.

Ich habe eine Figur auf einem Spielfeld und die Figur kennt die absolute Position einiger Gegenstände auf dem Feld. Nun bekommt die Figur einige Informationen darüber, welche Gegenstände sie gerade in welchem Winkel und in welcher Distanz gesehen hat und daraus soll nun die absolute Position der Spielfigur berechnet werden.

Dumm ist dabei nur, dass die Figur nicht die genauen Werte übermittelt bekommt, sondern gerundete Werte. Daraus ergibt sich dann eine Fläche möglicher Positionen, und ich wollte nun den Erwartungswert benutzen um die wahrscheinlichste Position zu bestimmen.

Frage 1)
Wenn ich nun die unten genannte Berechnung nutze, würde ich aber nicht die wahrscheinlichste Position bekommen, da der Erwartungswert ja gar nicht auf dem Kreis liegt, oder?

Frage 2)
Wie kann ich jetzt die Informationen von mehreren solchen Objekten zusammenrechnen?

Von den gegebenen Abständen habe ich jetzt mal abstrahiert, da die nicht so ein großes Problem darstellen und hinterher leicht eingebaut werden können.

Viele Grüße
Thomas

13.01.2008, 23:37

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde genommen geht es also um Geodäsie, genauer gesagt Ausgleichsrechnung. Das ist ein weites Feld, wenn man es richtig anpacken will. Augenzwinkern

13.01.2008, 23:43

Gamel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, danke für den Hinweis, das kannte ich noch gar nicht. Ich brauchte das für Roboterfußball ^^. Ich dachte, da alle ungenauen Werte gleichverteilt sind, könnte man da mit Wahrscheinlichkeitsrechnung leicht drankommen, aber eine Gaussverteilung wäre wohl leichter gewesen, oder?

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert am Einheitskreis

Verwandte Themen