Skalarprodukt-Aufgaben

07.06.2005, 16:32

Soulmate

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Skalarprodukt-Aufgaben

Hallo,

ich habe Probleme mit mehreren Skalarprodukt-Anwendungsaufgaben.

Folgende Aufgabe:

Berechne für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \vec{b} \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} ) \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} \vec{b} \cdot ( \vec{a} + \vec{c} ) \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} \vec{c} \cdot ( \vec{a} + \vec{b} ) \end{eqnarray*}$
g) $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot ( \vec{b} - \vec{c} ) \end{eqnarray*}$
h) $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} + \vec{b} )\cdot (\vec{b} - \vec{c} ) \end{eqnarray*}$

Hier sind meine Ergebisse. Wäre echt nett, wenn ihr mal kurz kontrollieren könntet ob sie richtig sind oder ob ich mich da irgendwo verrechnet habe.

a) -3
b) 3
c) 0
d) 0
e) -3
f) 3
g) -6
h) 8

Ich finde meine Ergebnisse irgendwie merkwürdig. Deswegen wäre es sehr gut zu wissen, ob ich irgendwas falsch gemacht habe.

Nun gibt es noch eine Aufgabe, die sich auf diese Aufgabe bezieht. Allerdings kann ich die nicht lösen:

Berechne für $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ aus der letzten Aufgabe die Vektoren $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \vec{c} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ( \vec{b} \cdot \vec{c} ) \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} \cdot \vec{c} ) \vec{b} \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe nicht was ich da machen muss und wie?

07.06.2005, 16:36

JochenX

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hab das mal exmeplarisch nachgerechnet
a) b) c) stimmen
g) stimmt auch, von dem her hast du auch das prinzip von d)e)f) verstanden
h) finde ich nicht als aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

zur anderen: (a*b)c ist ein vielfaches von c, denn a*b ist ja ein skalar!
beachte das das hintere kein Skalarprodukt mehr ist!

07.06.2005, 16:41

Soulmate

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h hab ich nachgetragen. ist das auch richtig?

ich versteh aber immer noch nicht wie ich die zweite aufgabe lösen soll.
wenn ich das ausrechne bekomme ich doch dann ein skalar raus und keinen vektor verwirrt

verwirrt

07.06.2005, 16:44

JochenX

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h) stimmt

$\begin{eqnarray*} (a*b) \cdot c=? \end{eqnarray*}$
* SKP, der punkt ist skalare multiplikation (also "streckung" von c)
a*b gibt skalar, skalar *c gibt ein vielfaches von c

07.06.2005, 16:47

derkoch

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$\begin{eqnarray*} skalar\cdot vektor = vektor \end{eqnarray*}$

zb.: $\begin{eqnarray*} 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot 2 \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.06.2005, 17:01

Soulmate

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alles klar.

dann hab ich da folgende ergebnisse raus:

für $\begin{eqnarray*} (\vec{a} \cdot \vec{b} ) \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (\vec{b} \cdot \vec{c} ) \cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (\vec{a} \cdot \vec{c} ) \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sind die ergebisse richtig?
und wie schreibt man die ergebnisse richtig auf?
wie folgt?

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

???

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07.06.2005, 17:11

JochenX

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hallo!
unterscheide in deiner schreibweise ein wenig zwischen SKP und multiplikation mit einem Skalar.

verwende z.b. \cdot und * wie ich oben!

richtig gerechnet hast du, aber was soll die frage, wie du das aufschreibst?

du berechnest $\begin{eqnarray*} (\vec{a} * \vec{b} ) \cdot \vec{c}=..... \end{eqnarray*}$
wieso schreibst du dann plötzlich als lösung c=.... hin?
schreibe da genau den vektor hin, den du berechnet hast nämlich.....

07.06.2005, 17:37

Soulmate

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sorry, wegen dieser dummen frage. war grad erwas verwirrt.

ich habe auch probleme etwas mit hilfe eines skalarprodukts auszudrücken:

Drücke mit Hilfe des Skalarprodukts aus,

a) dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ orthogonal sind.

b) dass $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ ein Einheitsvektor ist.

c) dass $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ den Betrag 2 hat.

d) dass $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

ich habe mir folgendes gedacht, weiß aber nicht ob das richtig ist:

a) $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ = 0
oder $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ * cos90°

ich weiß nicht was davon bei a) richtig ist verwirrt

verwirrt

ich glaube eher das erste, bin mir aber nicht so sicher.

b) $\begin{eqnarray*} \vec{p} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = p_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + p_2\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + p_3\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = p_1\cdot \vec{e_1} + p_2\cdot \vec{e_2} + p_3\cdot \vec{e_3} \end{eqnarray*}$

c) hier fällt mir überhaupt nichts ein Hilfe

Hilfe

d) $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ = | $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ | * | $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ |

ist das so richtig?

07.06.2005, 17:50

JochenX

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a) p*q=0 ist richtig, denn so ist senkrecht bei vektoren definiert
b) und c): bedenke, dass die standard-euklidnorm über das standardskalarprodukt definiert ist....

bei d) hätte ich eine idee, aber das könnte fast zu kompliziert sein....
bedenke, deine vektoren stehen zu den gleichen vektoren senkrecht

07.06.2005, 18:00

gargyl

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Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind , dann gilt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ = x* $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ sind paralel zu einander.
Daraus folgt ........

07.06.2005, 18:06

Soulmate

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ich weiß nicht was daraus folgt verwirrt

verwirrt

vll $\begin{eqnarray*} \vec{q} = x* \vec{p} \end{eqnarray*}$ ?

was soll das denn heißen, dass die standard-euklidnorm über das standardskalarprodukt definiert ist...?

07.06.2005, 18:23

JochenX

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es gilt: $\begin{eqnarray*} ||(x_1/x_2)||=\sqrt{x_1^2 + x_2^2} \end{eqnarray*}$
und: $\begin{eqnarray*} (x_1/x_2)*(x_1/x_2)=x_1^2+x_2^2 \end{eqnarray*}$

soviel zu norm und skalarprodukt.... bitte nachdenken!

07.06.2005, 18:42

gargyl

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Noch eine Hilfe

$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a} \vec{b})= \frac{\vec{a}*\vec{b}}{\mid \vec{a} \mid *\mid \vec{b} \mid } \end{eqnarray*}$

(Wenn ich die Lösung hin schreibe bekomme ich Schläge von Loed) Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2005, 18:45

JochenX

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$\begin{eqnarray*} cos(\vec{a} \vec{b}) \end{eqnarray*}$ meint dabei den winkel zwischen a und b....
als nachtrag

und hallo gargyl: ich freue mich, dass du hier hilfst, und hoffe, dass das nicht missverstanden wird....
ich habe das heute morgen ja echt nicht böse gemeint......

Mit Zunge

Mit Zunge

verzeih mir bitte smile

smile

mfg jochen

[ps: habe hunger, wann kommt meine abholung zum grillen verwirrt

verwirrt

]

07.06.2005, 18:51

Soulmate

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keine ahnung was ihr mir mit diesen formeln sagen wollt.
sie sind mir auch nicht unbekannt, nur weiß ich nicht wie ich die formeln gebrauchen kann verwirrt

verwirrt

c) dass $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind:

vll $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ = - | $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ | * | $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ | ?

ich hab keine ahnung traurig

traurig

07.06.2005, 19:04

gargyl

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Ist doch nur Spass Wink

Wink

07.06.2005, 19:32

Soulmate

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Na gut, ich gebe es auf unglücklich

unglücklich

Vll klappt es ja mit der nächsten Aufgabe:

a) Beim Würfel in Fig. 86.1 bilden die Flächendiagonale CB und die Raumdiagonale CA einen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Berechne $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

b) Wie groß ist der Schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ der Raumdiagonalen CA und OB in Fig. 86.1.?

Klick

prinzipiell weiß ich wie man a) löst.
bestimmt mit der formel:

$\begin{eqnarray*} cos (\vec{a} \vec{b}) = \frac{a_1*b_1 + a_2*b_2 + a_3*b_3}{| \vec{a} | * | \vec{b} |} \end{eqnarray*}$

dazu brauch ich aber die vektoren von CB und CA.
wie krieg ich sie raus?
lauten sie jeweils $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2005, 19:41

brunsi

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da es sich um einen würfel handelt und du auch bezeichnungen da angegeben hast gilt:

$\begin{eqnarray*} C(0|0|1);B(1|1|1);A(1|1|0) \end{eqnarray*}$ und damit kannst du jetzt die Vektoren bestimmen die du benötigst, hab dir die Punkte bzw. damit die Ortsvektoren angegeben, kannst du einfach aus der zeichnung ablesen. bei verständnisproblemen nachfragen.

gruß dennis

07.06.2005, 19:46

gargyl

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Ich wollte darauf hinaus das der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ Null ist.

07.06.2005, 20:30

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie krieg ich nun die vektoren?
muss ich da von punkt A nach C rechnen, also als Vektor für die strecke: (-1 -1 1) oder umgekehrt von C nach A, also : (1 1 -1) ?
oder ist das ganz falsch wie ich den vektor ausrechnen will?

@gargyl hmmm...ja, der winkel ist 0. das ist klar, wenn sie parallel sind, aber wie hilft mir das denn weiter um das durch das skalarprodukt auszudrücken?

07.06.2005, 20:54

gargyl

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Wollte auf die Ausssage die jetzt unter d) steht.
Ist das geändert worden ?

07.06.2005, 21:16

Soulmate

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nee, da hab ich nichts geändert.
das stand von anfang an so da.
da ist wohl nur a) richtig und ich hab keine ahnung was für b), c) und d) hinkommt traurig

traurig

07.06.2005, 22:02

gargyl

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A ist richtig:

Das Skalarprodukt ist Null

D:
Wenn
$\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} cos(\vec{p} \vec{q} )= 1 =\frac{\vec{p}* \vec{q}}{\mid \vec{p} \mid \mid \vec{q} \mid } \end{eqnarray*}$
=>

$\begin{eqnarray*} \vec{p}* \vec{q}=\mid \vec{p} \mid \mid \vec{q} \mid \end{eqnarray*}$

B:
Der Einheitsvktor hat die länge 1:

also ist (mit d)

$\begin{eqnarray*} \vec{p}* \vec{p}=1 \end{eqnarray*}$

c: wie b

$\begin{eqnarray*} \vec{p}* \vec{p}=4 (!) \end{eqnarray*}$

Auch Loed beachten hinsichtlich der Norm

07.06.2005, 22:51

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir p*p = 4 nochmal erklären?
warum war denn mein d) nicht richtig?
ich hab doch eigentlich genau dasselbe geschrieben, oder nicht? verwirrt

verwirrt

07.06.2005, 23:01

gargyl

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Hab d übersehen und nie gesagt das es falsch ist.
Deswegen auch meine Frage ob das geändert worden ist.

(Da p den Betrag 2 hat hat p*p 4)

07.06.2005, 23:10

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

q hat den betrag 2.

muss es also nun q*q = 4 heißen?

08.06.2005, 07:58

gargyl

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Bei den Aufgabenteilen b,c,d ist $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$

08.06.2005, 09:24

JochenX

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ich hätte zu d) ja folgendes vorgeschlagen:

$\begin{eqnarray*} \forall x: \ ( <p,x>=0 ) \ <=> \ (<q,x>=0) \end{eqnarray*}$
das sagt aus, das eben alle vektoren, die zu p senkrecht stehen auch zu q senkrecht stehen und umgekehrt, aber eures ist wohl wirklich eleganter

mfg jochen

[nur als nachtrag]

edit: leerzeichen, klammer

08.06.2005, 11:04

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@soulmate: differenz der ortsvektoren:
$\begin{eqnarray*} \vec{c}-\vec{a}=richtungsvektor \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \vec{c}-\vec{b}=2.richtungsvektor \end{eqnarray*}$

das sind die gesuchten vektoren um den schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ berechnen zu können. analog funktioniert das für den schnittwinkel
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

08.06.2005, 14:34

gargyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Für deine Aufgabe (Bild 86) hier mal eine Teillösung:

Bezugspunkt seie Punkt C.

Der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wird duch die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{CB} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Vom Punkt c aus lauten diese
$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{CB} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{y} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{CA} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der bekannten Formel also
$\begin{eqnarray*} cos (\alpha )= \frac{\vec{x}\vec{y}}{\mid \vec{x} \mid\mid \vec{y} \mid} \end{eqnarray*}$

08.06.2005, 18:52

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja schon wieder eine komplettlösung. unglücklich

unglücklich

unglücklich

nicht doch das darf doch nicht sein. ich hätte es auch einfach posten können, aber dann helfen wir soulmate damit ja nicht. ist zwar nicht meine meinung aber die der anderen. Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

da haste etwas zu viel gepostet zu abb. 86.1. reduziere das mal ein wenig.

08.06.2005, 21:03

gargyl

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab nur die halbe Lösung geschrieben.

09.06.2005, 08:57

gast1

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antwort!!

Zitat:

Original von brunsi
das ist ja schon wieder eine komplettlösung. nicht doch das darf doch nicht sein. ich hätte es auch einfach posten können, aber dann helfen wir soulmate damit ja nicht. ist zwar nicht meine meinung aber die der anderen. Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

da haste etwas zu viel gepostet zu abb. 86.1. reduziere das mal ein wenig.

gerade jamand, der fast immer koomplett lösungen postet, regt sich über sowas auf! Big Laugh

Big Laugh

09.06.2005, 10:07

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@gargyl: ja die halbe lösung, d.h. die eine teilaufgabe mit lösungsweg dargestellt und da es beid er 2. winkelbestimmung genauso funktioniert, ist es eine, in bezug auf die aufgabe, komplett dargestellte lösung, wenn man davon absieht, dass die werte allerdings noch einfach in die formel eingesetzt werden müssen.

aber nicht so schlimm, wenn man sich mal nicht dran hält Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

bin ja genauso einer der das auch gerne mal macht Wink

Wink

Wink

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