Aufgabe zu Markov Ketten

07.06.2005, 16:48

kolja2k

Aufgabe zu Markov Ketten

Hallo alle zusammen,
habe leider ein kleines Verständnisproblem bei folgendem Beispiel welches in unserem Script stand.

Also folgende Aufgabe :
Am anfang des experiments befinden sich 2 PErsonen in einem Raum.Die eine is Anhänger von Partei A, die andere nicht.Es kommen nur einzeln weitere leute in den Raum welche sind züfällig einer Meinung anschliessen.+

Wie kann man die zufälligen Meinungen der nacheinander eintretenden Personen modellieren?

So also die Wahrscheinlichkeit das die erste reinkommenden Personen Partei A auswählt ist ja 0.5 .

Im Script geben sie die Koppelung folgendermassen an:

$\begin{eqnarray*} pm(x1,...,xm-1;1)=\frac{\sum_{i=1}^m~ xi + 1}{m+1} \end{eqnarray*}$

Genau hier ist mein Problem, wie kommt man auf diese Formel?

wie modelliere ich sowas wenn die Person die reinkommt zu 50% vorher sich schon entschieden hat und in diesem Fall der Partei A mit 1/3 Wahrscheinlichkeit beitritt(und also mit 2/3 sich gegen diese entscheidet), und falls sie sich nicht vorher entschieden hat wieder zufällig entscheidet?

07.06.2005, 16:49

Kolja2k

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Die summe müsste bei m-1 gehen sorry.

07.06.2005, 17:38

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Verwendete Symbole und Begriffe sollte man auch ordentlich erklären, siehe auch
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=18064

Ich vermute mal, du meinst folgendes: Der Wähler Nr. i wird beschrieben durch die 0-1-Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ , etwa mit folgender Bedeutung:

$\begin{eqnarray*} X_i=\begin{cases}1 &\;\mbox{falls er A wählt}\\ 0 &\;\mbox{falls er B wählt} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und der Brocken $\begin{eqnarray*} p_m(x_1,\ldots,x_{m-1};1) \end{eqnarray*}$ , den du uns dann hinwirfst, soll vermutlich die folgende bedingte Wahrscheinlichkeit für das Wahlverhalten des m-ten Wählers sein:

$\begin{eqnarray*} P\left(X_m=1 \bigm| X_1=x_1,\ldots,X_{m-1}=x_{m-1}\right) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} x_i+1}{m+1} \end{eqnarray*}$

Alles richtig geraten? Dann erst lohnt es sich, das Problem zu diskutieren.

07.06.2005, 17:46

kolja2k

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Ja genau das meinte ich, sorry dachte die schreibweise mit P(x1,...,xm-;1) ist geläufig...

07.06.2005, 19:02

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RE: Aufgabe zu Markov Ketten
Na dann:

Zitat:

Original von kolja2k
Genau hier ist mein Problem, wie kommt man auf diese Formel?

Tja, wie kommt man darauf? Das ist einfach ein Modell! Motiviert könnte das sein durch folgendes Vorgehen:

Der Wähler kommt zur Wahl mit dem Hintergrund, dass er ein Argument hat, A zu wählen, und genau so ein Argument, B zu wählen. Nun wird er (entgegen hiesigen Gepflogenheiten) von all den (m-1) bisherigen Wählern vor seiner Stimmabgabe beschwatzt: Jeder der (m-1) liefert ein Argument für die jeweils von diesem Wähler präferierte Partei. Am Ende hat der m-te Wähler (m+1) Argumente vorliegen, von denen er eines zufällig (aber gleichberechtigt) herausgreift und für seine Wahl dann nutzt.

07.06.2005, 20:14

kolja2k

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naja versteh die obige summe immer noch nicht ganz... wieso dort eine +1 ist, das mit den m+1 meinungen ist mir jetzt klar, hab an die 2 eigenen nicht gedacht...

und wir würde man sowas modellieren in diesem fall ?

Zitat:

wie modelliere ich sowas wenn die Person die reinkommt zu 50% vorher sich schon entschieden hat und in diesem Fall der Partei A mit 1/3 Wahrscheinlichkeit beitritt(und also mit 2/3 sich gegen diese entscheidet), und falls sie sich nicht vorher entschieden hat wieder zufällig entscheidet?

07.06.2005, 20:34

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Zitat:

Original von kolja2k
und falls sie sich nicht vorher entschieden hat wieder zufällig entscheidet

Was meinst du hier mit "zufällig": 50%/50% oder wieder sowas wie das Beschwatz-Modell (nur vielleicht ohne die 2 vorgefassten Argumente).

07.06.2005, 20:57

kolja2k

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Also es ist so gemeint..

In einem Raum befinden sich zwei Personen, wovon ein Anhänger der Partei A ist. Nun betretet nacheinander weitere Personen den Raum. Eine eintretende Person hat mit W'keit 1/2 bereits entschieden ,ob sie die Partei A mag oder nicht. In diesem Fall mag sie Partei a mit Wkeeit 1/3 und sie mag sie nicht mit Wkeit 2/3.Falls die eintretende Person noch keine Entscheidung getroffen hat, nimmt sie zufällig die Meinung einener anderen Person im Raum an.

Also ich hab mir das so überlegt...

sei E das Ereignis das die Personen sich entschieden hat.
sei A das Ereignis das die Person Partei A wählt.

dann weiß man ja folgendes...

P(A) = P(A^) = 0.5
P(X|A) = 1/3
P(X^|A) = 2/3
P(X|A^)=P(X^|A^)=0.5

Wobei Hier A^ für das Komplement von A steht....(ebenso X)

Dann kann man ja mit der formel für die totale Wahrscheinlichkeit P(X) ausrechnen...

aber wie stelle ich nun die koppelung auf?

07.06.2005, 20:59

kolja2k

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wieder mal vertippt... ich meinte eigentlich

sei A das Ereignis das die Personen sich entschieden hat.
sei X das Ereignis das die Person Partei A wählt.

07.06.2005, 21:11

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Ich würde es mit meiner Symbolik von oben eher so ausdrücken:

Ereignis $\begin{eqnarray*} U_m \end{eqnarray*}$ ... Der m-te Wähler hat sich vorab entschieden.

Dann gilt $\begin{eqnarray*} P\left(U_m\right) = P\left(U_m^c\right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} P\left(X_m=1 \bigm| U_m,X_1,\ldots,X_{m-1}\right) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ,

also unabhängig von der Vorgeschichte. Dagegen gilt dann

$\begin{eqnarray*} P\left(X_m=1 \bigm| U_m^c,X_1,\ldots,X_{m-1}\right) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{m-1} X_i}{m-1} \end{eqnarray*}$

Und auf das wieder gesuchte $\begin{eqnarray*} P\left(X_m=1 \bigm| X_1,\ldots,X_{m-1}\right) \end{eqnarray*}$ kommst du dann wie gewöhnlich mittels Formel der totalen Wahrscheinlichkeit.

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