Reelle Tripel + Wurzelgleichung mit 3 unbekannten

07.06.2005, 19:04

donkarabelas

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Reelle Tripel + Wurzelgleichung mit 3 unbekannten

hallo, also meine Mathe-Prof war mal wieder sehr kreativ und hat mir für mein abitur in mathe folgende Aufgabe zu lösen gegeben:

Man löse folgende Gleichung in der Menge der reellen Tripel:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4xy+4y^{2}}+\sqrt{y^{2}+6y+9}=-z^{2}+4z-4 \end{eqnarray*}$
Rock

Rock

Folgendes kann ich machen: ich habe die Gleichung folgendermaßen umgeformt:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{(x+2y)^{2}}-\sqrt{(y+3)^{2}}=(z-2)^{2} \end{eqnarray*}$

So, und jetzt weiß ich nicht mehr weiter; traurig

traurig

Kann ich einfach die Wurzel ziehen? und wenn ja, wie rechne ich weiter wo mir doch weitere 2 Gleichungen fehlen, und überhaupt was is die Menge der reellen Tripel??

mfg
elias

07.06.2005, 21:34

etzwane

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Du musst schon die Wurzeln auf der linken Seite auflösen, sonst kommst du nicht weiter, aber dabei Fallunterscheidungen bei den Vorzeichen der Wurzeln vornehmen. Denn wegen des Quadrates auf der rechten Seite muss auch die linke Seite => 0 sein. Das sollte je nach Fall eine Bedingungsgleichung für x und y ergeben.

Man kann nur hoffen, dass die Rechnung noch übersichtlich bleibt.

07.06.2005, 21:38

donkarabelas

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warum muss die linke seite aufgrund des Quadrates Null sein???

könntest du das mit den Fallunterscheidungen genauer erläutern, das habe ich nicht allzusehr verstanden...

07.06.2005, 21:45

Leopold

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Wenn $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ nichtnegativ sind und $\begin{eqnarray*} -a-b=c \end{eqnarray*}$ gilt, was folgt dann für $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2005, 22:01

donkarabelas

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irgendwie steh ich da an..., ich hab noch nie mit solchen gleichungen gearbeitet, das ist ziemliches neuland für mich

07.06.2005, 22:06

Leopold

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Du hast ja alles richtig gemacht. Jetzt nur Mut zum nächsten Schritt! Versuch einmal eine Gleichung $\begin{eqnarray*} -a-b=c \end{eqnarray*}$ aufzustellen, wobei alle Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ positiv sind.

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07.06.2005, 22:15

donkarabelas

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das geht doch nicht! wenn a und b positiv sind kann -a-b nicht eine positive zahl ergeben

07.06.2005, 22:17

Leopold

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Eben.
Und jetzt löse die ganz ähnliche Aufgabe: Bestimme drei nichtnegative Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -a-b=c \end{eqnarray*}$

07.06.2005, 22:19

donkarabelas

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das geht doch nur mit null oder?

07.06.2005, 22:20

Leopold

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Freude

Und was hat das Ganze jetzt mit deiner Aufgabe zu tun?

07.06.2005, 22:22

donkarabelas

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das die linke seite null sein muss, also auch die rechte

*licht aufgeht*

07.06.2005, 22:25

Leopold

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Mehr noch! Nicht nur muß die linke Seite Null sein - jeder Summand der linken Seite muß Null sein!

07.06.2005, 22:28

donkarabelas

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das heißt ich kan jede einzelne Wurzel Null setzen und somit die werte ausrechnen oder?

07.06.2005, 22:30

Leopold

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Freude

Und das Ganze funktioniert nur wegen des Positiv-Negativ-Spiels. Quadrate sind niemals negativ, Wurzeln sind niemals negativ.
Ist das nicht toll?

07.06.2005, 22:31

donkarabelas

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okay Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} y=-3 // x=6 // z=2 \end{eqnarray*}$

gut?

07.06.2005, 22:32

Leopold

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Bestens!

07.06.2005, 22:35

donkarabelas

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jetzt kommt mir da doch ne kranke idee: Was wäre wenn man dieses Gleichungsgebilde als dreidimensionale Funktion ansieht? Gibts ne möglichkeit das irgendwie zu plotten??

07.06.2005, 22:37

Leopold

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Du weißt ja inzwischen, daß nur $\begin{eqnarray*} (x,y,z) = (6,-3,2) \end{eqnarray*}$ die Gleichung löst. Ein einzelner Punkt ist dreidimensional nicht so furchtbar interessant.

07.06.2005, 22:54

donkarabelas

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stimmt eigentlich. Ah ja wo wir gerade bei furchbar interessant sind, hab ich hier noch zwei bsp die ich fast fertig habe (selbst geschafft welch wunder), und nur wissen würde ob die so stimmen.

Nr1:
Man bestimme alle Werte des reellen Parameters a so das die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (a^{2}-1)9^{x}-(6a^{2}+2)3^{x}+9a^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$

reelle Lösungen hat.
Gut, also ich hab 3^x durch u substituiert, dann erhalte ich eine quadratische gleichung in u mit a als Formvariable, die kann ich lösen.

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} u_{1}=\frac{6a^{2}-8a+2}{2(a^{2}-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{2}=\frac{6a^{2}+8a+2}{2(a^{2}-1)} \end{eqnarray*}$

gut, dann in die substitution eingesetzt ergibt als Lösung für x folgendes:
$\begin{eqnarray*} x_{1}=\log^3(6a^{2}-8a+2)-\log^3(2(a^{2}-1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=\log^3(6a^{2}+8a+2)-\log^3(2(a^{2}-1)) \end{eqnarray*}$

Frage. reicht das jetzt schon oder muss ich noch mehr berechnen?

Nr2:
gegeben sind 2 Kurven:
$\begin{eqnarray*} I: x^{2}-y^{2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: (x-a)^{2}-y^{2}=1 \end{eqnarray*}$
ges: Werte für a sodaß die kurven a) drei b) vier c) zwei Schnittpunkte haben.
okay hier war ich nur soweit, dass ich die beiden Kurven miteinander geschnitten habe und bekomme als Lösung der quadratischen Gleichung folgendes:
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{2a\pm \sqrt{8-4a^{2}}}{4} \end{eqnarray*}$
hier stoße ich jetzt ein bisschen an, wenn ich das a so berechnen soll das eben das oben gewünschte eintritt.

Könnte mir jemand hierbei helfen??

07.06.2005, 23:12

AD

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Zu Nr.1: Wegen $\begin{eqnarray*} u=3^x>0 \end{eqnarray*}$ besitzt die Ausgangsgleichung (mindestens) eine reelle Lösung x, wenn dein $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ positiv ist. Das ergibt Ungleichungen in a, die wiederum aufzulösen sind. Und das "oder" habe ich bewusst so herausgehoben...

P.S.: Ich weiß nicht, ob das bei euch üblich ist, aber gewöhnlich schreibt man besser $\begin{eqnarray*} \log_3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \log^3 \end{eqnarray*}$ , um die Verwechslungsgefahr mit Potenzen zu vermeiden.

07.06.2005, 23:13

Leopold

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Du hast die Frage von Nr. 1 während deiner Rechnung vergessen. Du solltest ja die zulässigen Werte des Parameteres $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Deine beiden $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Werte kannst du noch durch 2 kürzen. Und dann beachte, daß eine Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt. Du mußt dir also überlegen, für welche Parameterwerte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ da immer etwas Positives herauskommt. Tip: Zähler und Nenner lassen sich leicht faktorisieren.

EDIT

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und das "oder" habe ich bewusst so herausgehoben...

So, wie die Frage gestellt ist, hast du wohl recht. Ich habe da noch ein ungeschriebens "nur" mitgelesen.

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