Herleitung des Flächeninhaltes der Ellipse durch Integralrechnung

07.06.2005, 21:40	donkarabelas	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung des Flächeninhaltes der Ellipse durch Integralrechnung also, ich muss den FL der Ellipse mithilfe der Integralrechnung herleiten, folgendes habe ich dazu gemacht: ich habe mir die Formel für die Ellipse explizit gemacht: $\begin{eqnarray} y=b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} \end{eqnarray}$ und danach einfach integrieren: $\begin{eqnarray} A=b\int_{-a}^{a} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx \end{eqnarray}$ Frage: wie integriere ich diese Wurzel, ich hab mir gedacht $\begin{eqnarray} \frac{x^{2}}{a^{2}}=\sin^{2}u \end{eqnarray}$ zu setzen, nur wie mache ich dann weiter, einfach jetzt nach u integrieren? mfg elias
07.06.2005, 21:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast alles richtig gemacht (na ja, der Faktor 2 fehlt noch). Ersetze $\begin{eqnarray} \frac{x}{a} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \sin{u} \end{eqnarray}$ . Rechne aber auch die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Grenzen in $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ -Grenzen um (scharf nachdenken - und schon steht es da).
07.06.2005, 21:52	donkarabelas	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, scharf nachgedacht würd ich mal sagen, das ich ansteh, ich muss die -a bis a Grenze doch irgendwie aus der Subtitutionsgleichung ausdrücken oder??
07.06.2005, 21:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme $\begin{eqnarray} u=\text{?} \end{eqnarray}$ so, daß $\begin{eqnarray} x=-a \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x= a \end{eqnarray}$ herauskommt.
07.06.2005, 21:58	donkarabelas	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, da würd ich die gleichung doch umformen und mir mal das u ausdrücken: $\begin{eqnarray} u=\arcsin{\frac{x}{a}} \end{eqnarray}$
07.06.2005, 22:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was bekommst du nun für $\begin{eqnarray} x=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=-a \end{eqnarray}$ ?
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07.06.2005, 22:24	donkarabelas	Auf diesen Beitrag antworten »
tja macht einmal $\begin{eqnarray} u=\pm\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$
07.06.2005, 22:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann weiterrechnen ...
07.06.2005, 22:33	donkarabelas	Auf diesen Beitrag antworten »
also integriere ich dann: $\begin{eqnarray} A=2b\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{u} du \end{eqnarray*}$
07.06.2005, 22:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt auch das Differential substituieren: $\begin{eqnarray} x = a \cdot \sin{u} \ \ \Rightarrow \ \ \mathrm{d}x = a \cdot \cos{u} \ \mathrm{d}u \end{eqnarray}$ Der klassische Dreischritt: Variable substituieren - Differential substituieren - Grenzen substituieren

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