Wendepunkte mit Parametern

08.06.2005, 17:25

besucher

Wendepunkte mit Parametern

Hi,

ich häng bei einer Aufgabe...

Welche Bedingungen müssen für a erfüllt sein, damit der Graph der Funktion genau drei Wendepunkte hat?

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^5 + x^4 + ax^3 \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt erstmal die Fkt. abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 5x^4 + 4x^3 + 3ax^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 20x^3 + 12x^2 + 6ax \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 60x^2 + 24x + 6a \end{eqnarray*}$

Ein notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt ist $\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Also folgt:

$\begin{eqnarray*} 0 = 20x^3 + 12x^2 + 6ax \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = x(20x^2 + 12x + 6a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 20x^2 + 12x + 6a = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die $\begin{eqnarray*} 20x^2 + 12x + 6a = 0 \end{eqnarray*}$ in die abc-Formel einsetze bekomme ich

$\begin{eqnarray*} x_{2;3} = -0,3 \pm \sqrt{0,09-0,3a} \end{eqnarray*}$ heraus.

Jetzt hab ich mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} x_{2;3} \end{eqnarray*}$ nicht Null werden darf (da es sonst nur einen WP gibt):

$\begin{eqnarray*} 0 \neq -0,3 \pm \sqrt{0,09-0,3a} \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} 0 = -0,3 + \sqrt{0,09-0,3a} \end{eqnarray*}$
a = 0

und

$\begin{eqnarray*} 0 = -0,3 - \sqrt{0,09-0,3a} \end{eqnarray*}$
geht nicht, da die Wurzel positiv sein muss und wenn ich von einer negativen Zahl etwas abziehe komme ich nie auf Null.

a muss ungleich Null sein.

Ausserdem darf die Wurzel aus 0,09-0,3a nicht negativ sein:

0,09-0,3a > 0
-0,3a >-0,09
a < 0,3

Für die möglichen WP gilt also $\begin{eqnarray*} a = \{a \in \mathbb R / \{0\} \mid a<0,3\} \end{eqnarray*}$

Dann die Probe mit $\begin{eqnarray*} f'''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0) = 6a \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ ungleich Null. Also ist x=0 Wendestelle.

$\begin{eqnarray*} f'''(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) = 60(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a})^2 + 24(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) + 6a \ned 0 \end{eqnarray*}$

Stimmen die Rechnungen oder denk ich da irgendwo falsch?
Bin mir nicht so sicher...

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe smile

08.06.2005, 17:27

besucher

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RE: Wendepunkte mit Parametern

Zitat:

Original von besucher
$\begin{eqnarray*} f'''(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) = 60(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a})^2 + 24(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) + 6a \ned 0 \end{eqnarray*}$

soll $\begin{eqnarray*} f'''(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) = 60(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a})^2 + 24(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) + 6a \neq 0 \end{eqnarray*}$ heißen Augenzwinkern

08.06.2005, 17:41

Calvin

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RE: Wendepunkte mit Parametern
Mir ist kein Fehler aufgefallen. Du hast alles bedacht. Aber zwei Kleinigkeiten will ich noch anmerken.

Zitat:

Ausserdem darf die Wurzel aus 0,09-0,3a nicht negativ sein:

Passender wäre hier die Formulierung, dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ werden darf.

Zitat:

Original von besucher
Für die möglichen WP gilt also $\begin{eqnarray*} a = \{a \in \mathbb R / \{0\} \mid a<0,3\} \end{eqnarray*}$

Die Formulierung hier ist nicht richtig. Es muss heißen "Für alle a<0,3 hat die Funktion genau 3 Wendepunkte. Diese sind an den Stellen x1=0, x2=..."

08.06.2005, 17:49

besucher

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Hi,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

1.) Noch zwei Fragen hab ich dazu:
Kann ich den Bereich von a nicht als Interval angeben? (Ist der Interval so richtig?)

2.) x2 und x3 kann ich doch nicht weiter berechnen oder?
Der Ausdruck

kann doch nicht weiter vereinfacht werden oder?

08.06.2005, 17:57

Calvin

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RE: Wendepunkte mit Parametern
Ich habe doch noch eine Anmerkung Augenzwinkern

Zitat:

Original von besucher
$\begin{eqnarray*} f'''(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) = 60(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a})^2 + 24(-0,3 + \sqrt{0,09-0,3a}) + 6a \neq 0 \end{eqnarray*}$ heißen Augenzwinkern

Du könntest noch genauer ausführen, dass die für alle a<0,3 der obige Ausdruck tatsächlich ungleich 0 ist. Das zeigst du, indem du das a berechnest, für das der obige Ausdruck gleich 0 ist. Wegen der Kommazahlen ist das ein bißchen mühsam, aber es ist machbar.

Zitat:

1.) Noch zwei Fragen hab ich dazu:
Kann ich den Bereich von a nicht als Interval angeben? (Ist der Interval so richtig?)

Was meinst du damit? a<0,3 sieht doch schon ganz gut aus Augenzwinkern

Zitat:

2.) x2 und x3 kann ich doch nicht weiter berechnen oder?
Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x_{2;3} = -0,3 \pm \sqrt{0,09-0,3a} \end{eqnarray*}$ kann doch nicht weiter vereinfacht werden oder?

Da fällt mir spontan auch nichts weiter ein. Aber da nach den Wendestellen überhaupt nicht gefragt war, spielt das hier auch keine Rolle. Es reicht, wenn du alle a ermittelt hast, für die es genau 3 Wendepunkte gibt.

08.06.2005, 18:09

besucher

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RE: Wendepunkte mit Parametern

Zitat:

Original von Calvin
Du könntest noch genauer ausführen, dass die für alle a<0,3 der obige Ausdruck tatsächlich ungleich 0 ist. Das zeigst du, indem du das a berechnest, für das der obige Ausdruck gleich 0 ist. Wegen der Kommazahlen ist das ein bißchen mühsam, aber es ist machbar.

Naja, das hab ich ja indirekt schon getan.
Wenn a=0 ist, dann wird der Ausdruck unter der Wurzel = 0,3 und -0,3+0,3=0. Wenn ich mit Null multipliziere ergibt das Null und die Gesamte 3. Ableitung wird Null.

Zitat:

Was meinst du damit? a<0,3 sieht doch schon ganz gut aus Augenzwinkern

Ich meinte

weil a=0 dazu führt, dass nur ein Wendepunkt möglich ist oder kann man das nicht so schreiben?

08.06.2005, 18:13

Frooke

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RE: Wendepunkte mit Parametern
Ungeachtet davon, ob's stimmt (da lass ich Calvin Augenzwinkern

), solltest Du den Schrägstrich anders machen:
Also nicht:
$\begin{eqnarray*} a = \{a \in \mathbb R / \{0\} \mid a<0,3\} \end{eqnarray*}$
Sondern:
$\begin{eqnarray*} a = \{a \in \mathbb R \backslash \{0\} \mid a<0,3\} \end{eqnarray*}$

den kriegst Du mit «\backslash» hin Augenzwinkern

08.06.2005, 18:16

benutzer

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RE: Wendepunkte mit Parametern

Zitat:

Original von Frooke
Ungeachtet davon, ob's stimmt (da lass ich Calvin Augenzwinkern

Ja, ich weiß, der muss anders rum.
Hatte ich am Anfang, aber da gabs immer nur n Leerzeichen.
Aber danke für den Tipp, werds mir merken. smile

Kann noch nicht so arg viel in LaTeX Hammer

08.06.2005, 18:38

Calvin

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RE: Wendepunkte mit Parametern

Zitat:

Original von Frooke
Ungeachtet davon, ob's stimmt (da lass ich Calvin Augenzwinkern

)

Zu gnädig

Zitat:

Original von besucher
Naja, das hab ich ja indirekt schon getan.
Wenn a=0 ist, dann wird der Ausdruck unter der Wurzel = 0,3 und -0,3+0,3=0. Wenn ich mit Null multipliziere ergibt das Null und die Gesamte 3. Ableitung wird Null.

Aber es könnte möglicherweise noch ein weiteres a geben, für das die zweite Ableitung gleich 0 wird. Das sieht man an dem langen Ausdruck nicht. Aber ich kann dich beruhigen, ich habe kein weiteres a gefunden.

Zitat:

Ich meinte $\begin{eqnarray*} a = \{a \in \mathbb R \backslash \{0\} \mid a<0,3\} \end{eqnarray*}$

weil a=0 dazu führt, dass nur ein Wendepunkt möglich ist oder kann man das nicht so schreiben?

Ah, eben habe ich es verstanden. Ich bin mir da zwar nur zu 99% sicher, aber du könntest schreiben $\begin{eqnarray*} a\in\{z\in\mathbb R \backslash\{0\}\mid z<0,3\} \end{eqnarray*}$ . In Worten heißt es, dass a aus der Menge der reellen Zahlen ist, die kleiner als 0,3 sind, aber die 0 nicht enthalten ist.

08.06.2005, 18:57

besucher

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RE: Wendepunkte mit Parametern

Zitat:

Original von Calvin

Aber es könnte möglicherweise noch ein weiteres a geben, für das die zweite Ableitung gleich 0 wird. Das sieht man an dem langen Ausdruck nicht. Aber ich kann dich beruhigen, ich habe kein weiteres a gefunden.
[/latex]

Ich auch nicht mehr Augenzwinkern

[QUOTE]
Ah, eben habe ich es verstanden. Ich bin mir da zwar nur zu 99% sicher, aber du könntest schreiben $\begin{eqnarray*} a\in\{z\in\mathbb R \backslash\{0\}\mid z<0,3\} \end{eqnarray*}$ . In Worten heißt es, dass a aus der Menge der reellen Zahlen ist, die kleiner als 0,3 sind, aber die 0 nicht enthalten ist.

Muss ich da dann z schreiben?
Bis jetzt haben wir immer nur den Definitions und Wertebereich in der Intervallschreibweise angegeben und da war das dann immer in der Forum hier: W={x € IR | -5<x<5}

Ist das dann D_a (Def.-Bereich von a)?
Kann man das so nennen?

Jetzt noch mal ne andere Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^5+ax^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = \pm \sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$

Bei der Probe mit $\begin{eqnarray*} f'''(x)=60x+6a \end{eqnarray*}$ hab ich da noch ein Problem:

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=60 \cdot 0 + 6a = 6a \end{eqnarray*}$
ok, wenn a ungleich Null ist ist f'''(0) ungleich Null. Also WP

Jetzt mein Problem:
$\begin{eqnarray*} f'''( \sqrt{-0,3a})=60 \cdot \sqrt{-0,3a} + 6a \end{eqnarray*}$
wird Null, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} 0=60 \sqrt{-0,3a} + 6a \end{eqnarray*}$ |-6a
$\begin{eqnarray*} -6a = 60\sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ | :60
$\begin{eqnarray*} -0,1a = \sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ |²
$\begin{eqnarray*} 0,01a^2 = -0,3a \end{eqnarray*}$ |:a
$\begin{eqnarray*} 0,01a = -0,3 \end{eqnarray*}$ |:0,01
$\begin{eqnarray*} a = -30 \end{eqnarray*}$

(Wenn ich -30 für a einsetze kommt auch 0 heraus)
a muss also ungleich -30 sein.

Wenn ich das jetzt aber mit $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ mache kommt auch -30 heraus. Beim einsetzen von -30 in f'''(x) bekomme ich dann aber -360 unglücklich

Was ist da falsch?

$\begin{eqnarray*} 0=60 (- \sqrt{-0,3a}) + 6a \end{eqnarray*}$ |-6a
$\begin{eqnarray*} -6a = -60\sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ | : (-60)
$\begin{eqnarray*} 0,1a = \sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ |²
$\begin{eqnarray*} 0,01a^2 = -0,3a \end{eqnarray*}$ |:a
$\begin{eqnarray*} 0,01a = -0,3 \end{eqnarray*}$ |:0,01
$\begin{eqnarray*} a = -30 \end{eqnarray*}$

08.06.2005, 19:23

Calvin

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RE: Wendepunkte mit Parametern

Zitat:

Original von besucher
Muss ich da dann z schreiben?
Bis jetzt haben wir immer nur den Definitions und Wertebereich in der Intervallschreibweise angegeben und da war das dann immer in der Forum hier: W={x ¬ IR | -5<x<5}

Ist das dann D_a (Def.-Bereich von a)?
Kann man das so nennen?

Wenn du in der Menge auch noch ein a drin hast, dann klingt das umgangssprachlich so: "a ist aus der Menge aller a, die kleiner als 0,3 sind...." Das klingt nicht nur seltsam, sondern ist IMHO auch noch falsch. Also habe ich das in der Menge einfach z genannt. Das z ist aber beliebig. Ich hätte auch jeden anderen Buchstaben nehmen können.

Wenn jemand eine bessere Beschreibung der Menge einfällt, darf er sie gern hier posten smile

Für deine nächste Aufgabe fange ich mal hinten an Augenzwinkern

Zitat:

Wenn ich das jetzt aber mit $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ mache kommt auch -30 heraus. Beim einsetzen von -30 in f'''(x) bekomme ich dann aber -360 unglücklich

Was ist da falsch?

Die dritte Ableitung, die du für die Probe nimmst, ist nicht richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} f'''(x)=60x^2+6a \end{eqnarray*}$ . Deine möglichen Extremstellen hast du aber richtig berechnet.

Zitat:

Jetzt mein Problem:
$\begin{eqnarray*} f'''( \sqrt{-0,3a})=60 \cdot \sqrt{-0,3a} + 6a \end{eqnarray*}$
wird Null, wenn gilt:
[...]
$\begin{eqnarray*} a = -30 \end{eqnarray*}$

(Wenn ich -30 für a einsetze kommt auch 0 heraus)
a muss also ungleich -30 sein.

Da du hier mit der falschen 3. Ableitung gerechnet hast, ist natürlich auch deine Rechnung falsch. Aber angenommen, es wäre alles richtig, dann hier noch eine Erklärung von mir.

Wenn die dritte Ableitung an der entsprechenden Stelle gleich 0 ist, heißt das nicht, dass dort keine Wendestelle ist. Du kannst über diese Stelle dann keine Aussage treffen, und mußt erst prüfen, ob für genau dieses a die 2. Ableitung in einer Umgebung der "kritischen" Stelle einen Vorzeichenwechsel macht.

Außerdem musst du dir noch überlegen, für welche a es überhaupt die möglichen Extremstellen $\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\pm\sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ gibt.

08.06.2005, 20:38

besucher

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autsch, erstmal selbst vorn kopf hau Forum Kloppe

Dann is klar, warum das nicht so ganz ging...

dann muss a<0 gelten, damit 3 WP möglich sind.

x1=0
x2,3= $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=60*0^2 + 6a \neq 0 \ mit \ a \ \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(\pm \sqrt{-0,3a})=60*(\pm \sqrt{-0,3a})^2 + 6a \neq 0 \ mit \ a \ \neq 0 \end{eqnarray*}$

Probe, dass $\begin{eqnarray*} f'''(\pm \sqrt{-0,3a}) \end{eqnarray*}$ nicht noch mit anderen a Null wird:

$\begin{eqnarray*} 60*(\pm \sqrt{-0,3a})^2 + 6a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 60*(-0,3a) + 6a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -18a + 6a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -12a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ ist einzige Lösung

Da mit a = 0 mein x2;3 Wert auch Null wird jetzt 2. Probe mit VZW-Kriterium für $\begin{eqnarray*} f''(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1) = 20*1^3+6*0*1 = 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(-1) = 20(-1)^3+6*0*(-1) = -20 \end{eqnarray*}$

Da mit a = 0 und somit auch x2,3 = 0 aber nur noch 1 WP existieren würde muss a ungleich Null sein.

$\begin{eqnarray*} a \in \{z \in \mathbb R \mid z<0\} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^-\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

noch mal zur ersten Aufgabe: ok, hab verstanden, warum dann z da stehen muss smile

08.06.2005, 20:47

Calvin

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Ja, jetzt ist alles richtig. Ich hätte nur ein paar formale Verbesserungsvorschläge

Zitat:

Original von besucher
$\begin{eqnarray*} f'''(\pm \sqrt{-0,3a})=60*(\pm \sqrt{-0,3a})^2 + 6a \neq 0 \ mit \ a \ \neq 0 \end{eqnarray*}$

Probe, dass $\begin{eqnarray*} f'''(\pm \sqrt{-0,3a}) \end{eqnarray*}$ nicht noch mit anderen a Null wird:

$\begin{eqnarray*} 60*(\pm \sqrt{-0,3a})^2 + 6a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 60*(-0,3a) + 6a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -18a + 6a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -12a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ ist einzige Lösung

Wenn du das in einer Rechnung machst, wird es übersichtlicher. Aus der obersten Zeile läßt sich noch nicht rauslesen, dass das wirklich ungleich 0 ist. Besser wäre

$\begin{eqnarray*} f'''(\pm \sqrt{-0,3a})=60\cdot (\pm \sqrt{-0,3a})^2 + 6a=60\cdot (-0,3a) + 6a = -12a \end{eqnarray*}$

Von weiter oben weißt du, dass hier nur der Fall a<0 betrachtet wird, da sonst $\begin{eqnarray*} \sqrt{-0,3a} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Und damit ist $\begin{eqnarray*} f'''(\pm \sqrt{-0,3a})=-12a>0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a \in \{z \in \mathbb R \mid z<0\} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^-\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Ist IMHO richtig. Aber ich würde hier einen Satz in der Art "Für alle a<0 hat die Funktion genau 3 Wendepunkte" schreiben.

08.06.2005, 21:04

besucher

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Alles klar,

vielen, vielen Dank für deine Hilfe smile

hat mich echt weiter gebracht Freude

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Wendepunkte mit Parametern

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