Kugelaufgaben

14.01.2008, 09:20

Ernie und Bert

Kugelaufgaben

Hallo Leute,
ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich muss ein paar Aufgaben für die Schule lösen und diese vortragen.Leider habe ich keine Kontrollwerte und teilweise fehlen mir bei dem Komplex auch die Ideen.

Also gegeben sind:

K1: M1(2/0/1), r1=5
K2: M2(6/4/3), r2=3

a) Prüfen sie, ob der Punkt (1/3/5) innerhalb, außerhalb oder auf der Kugel K1 liegt.

Meine Lösung: Kugel liegt außerhalb, weil 26>25

b) Die Kugeln K1 und K2 schneiden sich.Bestimmen sie die Gleichung der Schnittebene.

Meine Lösung: E: $\begin{eqnarray*} \vec{x} * \begin{pmatrix} a_8 \\ a_8 \\ a_4 \end{pmatrix} -72 =0 \end{eqnarray*}$

c) Bestimmen sie Radius r' und Mittelpunkt M' des Schnittkreises K' von K1 und K2.

Da bin ich stehen geblieben bei der Zeile 882s=252, denn mit den Werten lässt sich ja schlecht rechnen unglücklich

d) Bestimmen sie 2 Punkte des Schnittkreises k', die mit den Mittelpunkten M1 und M2 einen ebenen drachen bilden.

Hier weis ich leider gar nichts unglücklich

e) E1 sei eine Ebene durch die Punkte A(1/3/4), B(2/7/1) und C (5/3/4).Bestimmen sie die beiden parallelen Tangetialebenen an der Kugel K1.

Meine Lösung: $\begin{eqnarray*} [ \vec{x} - \begin{pmatrix} a_2 \\ a_3 \\ a_5 \end{pmatrix} ] * \begin{pmatrix} a_0 \\ a_12 \\ a_16 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} [ \vec{x} - \begin{pmatrix} a_2 \\ a_-3 \\ a_-3 \end{pmatrix} ] * \begin{pmatrix} a_0 \\ a_12 \\ a_16 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

f) Untersuchen sie die relative Lage der Kugel K2 und der Geraden durch die Punkte P(1/-10/13) und Q(6/10/2).Bestimmen sie die gemeinsamen Punkte.

stehengeblieben bei der Zeile: 312-830s + 546 s²=0

g) Bestimmen sie den Radius und den Mittelpunkt der kleinsten Kugel, die die Kugeln K1 und K2 enthält.Bestimmen sie auch die Berührungspunkte der drei Kugeln.

Hier hab ich leider auch keine Ahnung abgesehen vom radius der neuen Kugel.

Ich hoffe ihr könnt eventuell meine Rechenfehler finden und mir ein Ansatz geben zum rechnen.
Icvh zähle auf euch! Wink

PS:Falls einer das selbe Buch eventuell zu Hause hat: Cornelsen's Analytische Geometrie und Lineare Algebra (S.168 NR 41)

14.01.2008, 14:43

Ernie und Bert

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Ich hab mir mal euer Prinzip "Online verstehen" durchgelesen.Falls mein Text oben als Komplettlösung rüberkommt, das soll er nicht sein!Würde lediglich gerne eine Kontrolle haben und ein Lösungsansatz bzw eine Hilfe wo ich mich verrechnet habe Augenzwinkern

Oben die "a"'s in den Klammern bitte wegdenken und einfach die Zahlen nehmen die dahinter als Index stehen, kenne mich mit der Technik noch nicht ganz aus Augenzwinkern

14.01.2008, 18:14

suziheizer32

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Hallo

also ich hab mich mal der b.) c.) angenommen.

Wenn du die Kreisgleichungen gleichsetzt.

$\begin{eqnarray*} y^2 + {\left(x - 2\right)}^2 + {\left(z - 1\right)}^2 - 25 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} {\left(x - 6\right)}^2 + {\left(y - 4\right)}^2 + {\left(z - 3\right)}^2 - 9 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} E:x = 9 - \frac{z}{2} - y \end{eqnarray*}$ erhalten wir die Ebene in K-Form.

und weil wir sie noch brauchen, die Parameterform.

$\begin{eqnarray*} E:\vec(x)=\begin{pmatrix} 9 & \frac{-m}{2} & -l \\ & l & \\ & m & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c.) Als erstes legen wir eine Gerade durch M1 M2 (Mittelpunkte der Kreise).

$\begin{eqnarray*} g:\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diese schneiden wir mit E und erhalten.

$\begin{eqnarray*} M'=\begin{pmatrix} \frac{44}{9} \\ \frac{29}{9} \\ \frac{22}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um den Radius des Schnittkreises zu erhalten treffen wir folgende Aussagen bezueglich des schnittkreises.

$\begin{eqnarray*} \mid \vec(x)-M1 \mid =5 \end{eqnarray*}$ " wobei mit $\begin{eqnarray*} \vec(x) \end{eqnarray*}$ immer die $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gemeint ist"
$\begin{eqnarray*} \mid \vec(x)-M2 \mid =3 \end{eqnarray*}$

wenn du nun einen beliebigen Wert , in meinem Fall s=2 vorgibst. (Der Schnittkreis hat ja beliebig viele Punkte). Die beiden oberen Aussagen zusammenfasst.
$\begin{eqnarray*} \sqrt((\frac{m}{2}-5)^2+(m-1)^2+4)-\sqrt((\frac{m}{2}-1)^2<br /> +(m-3)^2)+4=2 \end{eqnarray*}$
erhalst du m

$\begin{eqnarray*} m = \frac{14}{5} - \frac{4\, \sqrt{2}\, \sqrt{3}}{5} \end{eqnarray*}$

l,m eingesetzt in die Ebene und du hast einen Punkt auf dem radius von K.

$\begin{eqnarray*} \vec(P)=\begin{pmatrix} \frac{2*\sqrt(2)*\sqrt(3)*4}{5} +\frac{28}{5}\\ 2 \\ \frac{14}{5}-\frac{\sqrt(2)*\sqrt(3)*4}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \mid \vec(M')- \vec(P)\mid = r' \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} r'=\frac{2*\sqrt(2)*\sqrt(7)}{3} \end{eqnarray*}$

Hoffe das Hilft dir ein bisschen.

Beste Gruesse

Sebastian

zur Abb.
Gelber Punkt=P
Roter Punkt=Numerisch ermittelter Punkt

14.01.2008, 20:00

Ernie und Bert

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Zitat:

Original von suziheizer32
Hallo

also ich hab mich mal der b.) c.) angenommen.

Wenn du die Kreisgleichungen gleichsetzt.

$\begin{eqnarray*} y^2 + {\left(x - 2\right)}^2 + {\left(z - 1\right)}^2 - 25 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} {\left(x - 6\right)}^2 + {\left(y - 4\right)}^2 + {\left(z - 3\right)}^2 - 9 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} E:x = 9 - \frac{z}{2} - y \end{eqnarray*}$ erhalten wir die Ebene in K-Form.

und weil wir sie noch brauchen, die Parameterform.

$\begin{eqnarray*} E:\vec(x)=\begin{pmatrix} 9 & \frac{-m}{2} & -l \\ & l & \\ & m & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also...woher holst du auf einmal m und l her?Wenn ich die 2 Gleichungen gleichsetze kommen da keine neuen Buchstaben raus!?Wäre nett wenn du mir mal erklärst wie du darauf kommst, gelernt hab ich sowas noch nicht Augenzwinkern

Zitat:

Original von suziheizer32
c.) Als erstes legen wir eine Gerade durch M1 M2 (Mittelpunkte der Kreise).

$\begin{eqnarray*} g:\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k*\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diese schneiden wir mit E und erhalten.

$\begin{eqnarray*} M'=\begin{pmatrix} \frac{44}{9} \\ \frac{29}{9} \\ \frac{22}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um den Radius des Schnittkreises zu erhalten treffen wir folgende Aussagen bezueglich des schnittkreises.

$\begin{eqnarray*} \mid \vec(x)-M1 \mid =5 \end{eqnarray*}$ " wobei mit $\begin{eqnarray*} \vec(x) \end{eqnarray*}$ immer die $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gemeint ist"
$\begin{eqnarray*} \mid \vec(x)-M2 \mid =3 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin danke smile

Zitat:

Original von suziheizer32

wenn du nun einen beliebigen Wert , in meinem Fall s=2 vorgibst. (Der Schnittkreis hat ja beliebig viele Punkte). Die beiden oberen Aussagen zusammenfasst.
$\begin{eqnarray*} \sqrt((\frac{m}{2}-5)^2+(m-1)^2+4)-\sqrt((\frac{m}{2}-1)^2<br /> +(m-3)^2)+4=2 \end{eqnarray*}$
erhalst du m

$\begin{eqnarray*} m = \frac{14}{5} - \frac{4\, \sqrt{2}\, \sqrt{3}}{5} \end{eqnarray*}$

l,m eingesetzt in die Ebene und du hast einen Punkt auf dem radius von K.

$\begin{eqnarray*} \vec(P)=\begin{pmatrix} \frac{2*\sqrt(2)*\sqrt(3)*4}{5} +\frac{28}{5}\\ 2 \\ \frac{14}{5}-\frac{\sqrt(2)*\sqrt(3)*4}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \mid \vec(M')- \vec(P)\mid = r' \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} r'=\frac{2*\sqrt(2)*\sqrt(7)}{3} \end{eqnarray*}$

Sorry aber hier blick ich grad gar nicht durch.Kannst du mir das nochmal in Laiensprache erklären?Dann würde ich Zukunft ein besseren Plan haben wenn es um solche Kugelprobleme geht, das Thema ist noch sehr frisch Augenzwinkern

PS: Danke für die Grafik smile

14.01.2008, 21:12

suziheizer32

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Ja also

$\begin{eqnarray*} E:\vec(x)=\begin{pmatrix} 9-\frac{z}{2} \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kannst du natuerlich auch als
$\begin{eqnarray*} E:\vec(x)= \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +z*\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
schreiben.
wenn du $\begin{eqnarray*} y=l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=m \end{eqnarray*}$ setzt kannst du es
$\begin{eqnarray*} E:\vec(x)= \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +l*\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
schreiben. Und natuerlich auch wieder zusammenfassen so wie ich.

die Parameter k und l sind beliebig. ueblicherweise werden ihnen oft auch griechische Buchstaben gegeben.

14.01.2008, 21:33

suziheizer32

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Um den Radius des Schnittkreises zu erhalten treffen wir folgende Aussagen bezueglich des schnittkreises.

$\begin{eqnarray*} \mid \vec(x)-M1 \mid =5 \end{eqnarray*}$ " wobei mit $\begin{eqnarray*} \vec(x) \end{eqnarray*}$ immer die $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gemeint ist"
$\begin{eqnarray*} \mid \vec(x)-M2 \mid =3 \end{eqnarray*}$

Wenn du die beiden oberen Aussagen zusammenfasst erhaelst du k'. Ich habe das fuer l=2 getan da mir egal ist wo der Punkt auf dem Kreis liegt.
$\begin{eqnarray*} \sqrt((\frac{m}{2}-5)^2+(m-1)^2+4)-\sqrt((\frac{m}{2}-1)^2+(m-3)^2)+4=2 \end{eqnarray*}$
nun erhaelst du m

$\begin{eqnarray*} m = \frac{14}{5} - \frac{4\, \sqrt{2}\, \sqrt{3}}{5} \end{eqnarray*}$

l,m eingesetzt in die Ebene und du hast einen Punkt auf dem radius von K.

$\begin{eqnarray*} \vec(P)=\begin{pmatrix} \frac{2*\sqrt(2)*\sqrt(3)*4}{5} +\frac{28}{5}\\ 2 \\ \frac{14}{5}-\frac{\sqrt(2)*\sqrt(3)*4}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \mid \vec(M')- \vec(P)\mid = r' \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} r'=\frac{2*\sqrt(2)*\sqrt(7)}{3} \end{eqnarray*}$

Wie Ich aber breits gemerkt hab ist dieser Rechenweg natuerlich unnoetig Schwer , aber vielleicht hilft es dir bei den anderen Aufgaben. Augenzwinkern

Es geht naemlich auch ganz einfach ueber Phytagoras.

wir Berechnen den Abstand von M' zu M1.
wir Berechnen den Abstand von M' zu M2

es gilt

$\begin{eqnarray*} r1^2-\mid \vec(M')-\vec(M1) \mid =r' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r2^2-\mid \vec(M')-\vec(M2) \mid =r' \end{eqnarray*}$
im Rechtwinkligen Dreieck.

das Ergebniss

$\begin{eqnarray*} r'=\frac{2*\sqrt(2)*\sqrt(7)}{3} \end{eqnarray*}$

bleib das selbe.

siehe Abb.

Beste Gruesse

Sebastian

14.01.2008, 22:07

riwe

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Zitat:

Original von Ernie und Bert
Ich hab mir mal euer Prinzip "Online verstehen" durchgelesen.Falls mein Text oben als Komplettlösung rüberkommt, das soll er nicht sein!Würde lediglich gerne eine Kontrolle haben und ein Lösungsansatz bzw eine Hilfe wo ich mich verrechnet habe Augenzwinkern

Oben die "a"'s in den Klammern bitte wegdenken und einfach die Zahlen nehmen die dahinter als Index stehen, kenne mich mit der Technik noch nicht ganz aus Augenzwinkern

das ist wohl der witz der woche. Big Laugh

was soll denn da komplett sein verwirrt

schnittebene E: $\begin{eqnarray*} 2x+2y+z=18 \end{eqnarray*}$
beim mittelpunkt des schnittkreises habe ich eine andere y-koordinate

$\begin{eqnarray*} M(\frac{44}{9}/\frac{26}{9}/\frac{22}{9}) \end{eqnarray*}$

den radius des schnittkreises berechnet man ganz einfach über den pythagoras

$\begin{eqnarray*} d(M,M_1)=\frac{13}{3}\to r=\frac{2\sqrt{14}}{3} \end{eqnarray*}$

für die nächste aufgabe suchst du dir z.b über das skalarprodukt einen vektor der in E liegt und die länge r hat, damit hast du z.b die beiden punkte des drachens

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP}_{1,2}=\overrightarrow{OM}\pm 2\sqrt{7}(1,-1,0)^T \end{eqnarray*}$

die beiden tangentialebenen sind falsch.

für den rest deiner komlettlösung brauchst du immer nur die entsprechenden geraden mit der/den kugel/n zu schneiden. bei f die gerade PQ und bei g die gerade durch die beiden mittelpunkte

15.01.2008, 04:53

suziheizer32

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Uups verschrieben natuerlich

$\begin{eqnarray*} M'=\begin{pmatrix} \frac{44}{9} \\ \frac{26}{9} \\ \frac{22}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.01.2008, 05:03

suziheizer32

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Also fuer den radius krieg ich wenn ich das mit beiden Dreiecken ueber Phytagoras versuche.

oder Ueber den Abstand irgendeines Beliebigen Punktes auf $\begin{eqnarray*} k' \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ berechne.

$\begin{eqnarray*} r'=\frac{2*\sqrt(7)*\sqrt(7)}{3}=\frac{2*\sqrt(14)}{3} \end{eqnarray*}$

15.01.2008, 05:17

suziheizer32

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Und noch mal verschrieben. Phytagors natuerlich.

$\begin{eqnarray*} r1^2-\mid \vec(M')-\vec(M1) \mid^2 =r'^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r2^2-\mid \vec(M')-\vec(M2) \mid^2 =r'^2 \end{eqnarray*}$

im Rechtwinkligen Dreieck.

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