Stammfunktion bilden

08.06.2005, 19:53

Berger

Stammfunktion bilden

Hallo,

ich möchte die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} (\cos(x))^{4} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich weis aber nicht wie ich das machen soll. Ich habs mit partieller Integration versucht, habe es aber nicht hinbekommen.

08.06.2005, 20:00

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stammfunktion bilden
Partielle Integration ist schon richtig. Setze mal folgendermaßen an:

$\begin{eqnarray*} \int~\cos(x)\cdot \cos^3(x)\,dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u'(x)=\cos(x) \text{ und } v(x)=\cos^3(x) \end{eqnarray*}$

08.06.2005, 20:17

matze2002

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stammfunktion bilden
wichtig wenn du das aufleitest, schau dir mal beide seiten an... vlt ergibt sich ja mal das auf der einen seite, das selbe steht wie auf der anderen seite...

08.06.2005, 21:11

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so ähnlich wie bei

cos²(x). Das ist mir nicht mehr eingefallen.

Danke

08.06.2005, 23:53

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ wäre vll

$\begin{eqnarray*} \cos^4x=\frac{\cos 4x+3}{8}+\frac{\cos 2x}{2} \end{eqnarray*}$

nützlich! Augenzwinkern

Damit ginge es wohl schneller.

Gruß MSS

09.06.2005, 12:26

twxx

Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich hab das eben mal (aus spass) versucht nachzuvollziehen aber irgendwie bleibe ich hängen...

ich führe mal meinen ansatz vor:

partielle integration von
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos^4(x)~dx \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} u(x)=cos^3(x) \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} u'(x) = -3 * cos^2(x) * sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} V(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$

dann musste ich mich an die p.int.formel erinnern (kann sein, dass des der fehler is)
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u(x)*v(x)~dx = u(x)*V(x) - \int_{}^{}~V(x)*u'(x)~dx \end{eqnarray*}$

wenn man nun für die ganzen u's und v's einsetzt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos(x)*cos^3(x)~dx = cos^3(x)*sin(x)- \int_{}^{}~sin(x)*-3*cos^2(x)*sin(x)~dx \end{eqnarray*}$

oder etwas kürzer:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos(x)*cos^3(x)~dx = cos^3(x)*sin(x)+ 3*\int_{}^{}~sin^2(x)*cos^2(x)~dx \end{eqnarray*}$

so, und da ist das problem, weil ich im zweiten integral sowohl sin^2 als auch cos^2 hab... und dann nichtmal addiert sondern multipliziert.. und nun? nochmal partiell integrieren sollte ja wohl kaum was bringen, oder sollte ich das mal ausprobieren?

dreh ich meine zuweisung von u(x) und v(x) um, komme ich auch nicht wirklich weiter... geschockt

09.06.2005, 15:22

matze2002

Auf diesen Beitrag antworten »

cos^2 = 1- sin^2 oder andersrum

also folgt cos^2*sin^2 = cos^2 - cos^4, richtig?
nun dürfen wir unser integral aufspalten... inzwei intetrale... wir sollten ja shcon das integral von cos^4 aufleiten... bleibt also nur nohc das integral von sin^2 aufzuleiten

10.06.2005, 20:10

twxx

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ist die lösung für das integral denn so richtig:?
$\begin{eqnarray*} \int^{}_{}~cos^4(x)~dx = \frac{1}{4}cos^3(x)sin(x) + \frac{3}{8}cos(x)sin(x) + \frac{3}{8}x \end{eqnarray*}$

10.06.2005, 20:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du doch selbst überprüfen - durch Ableiten!

Aber, wie gesagt, mit meiner obigen Formel dürfte es wohl "am schnellsten" gehen. Augenzwinkern

Gruß MSS

10.06.2005, 20:58

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Aber, wie gesagt, mit meiner obigen Formel dürfte es wohl "am schnellsten" gehen. Augenzwinkern

Ich habe hier im Board auch schon mehrfach bei ähnlichen Aufgaben aus Effizienzgründen die Verwendung von Additionstheoremen statt partieller Integration vorgeschlagen, insbesondere dann, wenn mehrfache Ableitungen zu berechnen waren. Da das aber mehrheitlich ignoriert wurde - vermutlich weil in der Schule gerade partielle Integration dran war, und sich die Verwendung von Additionstheoremen deshalb "nicht schickt" - habe ich das inzwischen aufgegeben. Augenzwinkern

10.06.2005, 21:05

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur

ich kann nur von meiner ehemaligen Schule sprechen. Dort wurden die Additionstheoreme nahezu komplett übergangen. Und auch heute noch denke ich kaum daran, Additionstheoreme zu nutzen, weil ich nie intensiv damit gearbeitet habe. Möglicherweise wissen viele Schüler gar nicht, welche Möglichkeiten sich damit bieten.

Und trotz allem muss partielle Integration ja auch geübt werden Augenzwinkern

10.06.2005, 21:07

Auf diesen Beitrag antworten »

@Calvin

Auch wieder richtig, und mit ein Grund dafür, dass ich es "aufgegeben" habe.

10.06.2005, 21:10

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

*gg* Naja, was soll man machen!? Hammer

Hab ich auch schon so mitbekommen in anderen Threads und bis jetzt wurde mein Vorschlag hier ja auch völlig ignoriert. Ich verstehe leider auch nicht warum, partielle Integration ist doch öftersmal unübersichtlich - zu viele Terme und Integrale - , vor allem, wenn man mehrmals partiell integrieren muss, wie hier ...

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Stammfunktion bilden

Verwandte Themen