Brennpunkte Ellipse

09.06.2005, 08:51

klopferhein

Brennpunkte Ellipse

Für eine Positionieraufgabe will ich folgendes tun:

Den Mittelpunkt einer Ellipse berechnen. Diese befindet sich in einem kartesischen Koordinatensystem.

Der Grund ist folgender:

Hat man in der Elektronik einen Sinus und einen Kosinus zur Verfügung, kann man Positionen sehr genau berechnen. Normalerweise wenn auf der x-Achse ein Kosinus und auf der y-achse ein sinus aufgetragen wird, so erhält man einen Einheitskreis.

Nun sind diese Signale in der Realität mit einigen Fehlern behaftet. unglücklich

Die Auswirkungen sind folgende:

Es entsteht eine Ellipse, die ihren Mittelpunkt nicht im ursprung hat und auch nicht parallel zu einer der Achsen liegt. Hilfe

Um den Fehler zu korrigieren, benötige ich die Koordinaten des Mittelpunkts, siehe Zeichnung im Anhang. (@ LOED nachträglich eingefügt !!, da vorher zu groß)

Ich habe alle Punkte auf dem umfang der Ellipse in Wertepaaren vorliegen, möchte aber möglichst wenig STützstellen verwenden. verwirrt

Ichdachte an folgende Reihenfolge:

Schritt 1: Brennpunkte berechnen
Schritt 2: Mittelpunkt der Linie zwischen den Brennpunkten berechnen

Der Schritt zwei bereitet mir keine Probleme! smile

Aber wie komme ich aus meinen Wertepaaren auf meine Brennpunkte? verwirrt

Beim Kreis verwende ich drei Punkte, setze bilde die Mittelpunktssenkrechten zu den Verbindungslinien und berechne deren Schnittpunkt.

Für die Ellipse funktioniert dies leider nicht so einfach.

HILFE! Brauche eine Idee für die Berechnung der Brennpunkte Hilfe

09.06.2005, 09:40

JochenX

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Zitat:

Um den Fehler zu korrigieren, benötige ich die Koordinaten des Mittelpunkts, siehe Zeichnung im Anhang.

halli hallo, willkommen im board.
wo ist denn diese zeichnung im anhang? hast du die vergessen?
trag sie doch mal noch nach, bitte....

09.06.2005, 22:47

etzwane

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Also, ich würde diesen Ansatz versuchen für die Gleichung der Ellipse mit
Mittelpunkt (x0|y0) , den Halbachsen a und b und gedreht um den Winkel phi0:

$\begin{eqnarray*} x=x_0+a*\cos(\varphi-\varphi_0) \end{eqnarray*}$ ) Achtung, stimmt so
$\begin{eqnarray*} y=y_0+b*\sin(\varphi-\varphi_0) \end{eqnarray*}$ . ) nicht, siehe unten !

Mit drei geeigneten und schön weit auseinanderliegenden Punkten x|y kann man 6 Gleichungen für die 5 Unbekannten aufstellen. Die Berechnung von phi0 dürfte dabei das schwierigste sein.

Einfach mal versuchen, vielleicht geht es ja so.

EDIT: Ganz so einfach ist es leider nicht, habe da gestern zu später Stunde einige Variablen durcheinandergemischt.

Mit $\begin{eqnarray*} x=a*\cos(t) \text{ und }y=b*\sin(t) \text{ und } \tan(\varphi)=\frac{y}{x}=\frac{b}{a}\tan(t) \end{eqnarray*}$
und t als Parameter folgt für die nicht gedrehte Ellipse
$\begin{eqnarray*} tan(t)=\frac{a}{b}\tan(\varphi) \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} t=\arctan(\frac{a}{b}tan(\varphi)) \end{eqnarray*}$
und damit für die gedrehte Ellipse:

$\begin{eqnarray*} x=x_0+a*\cos(\arctan(\frac{a}{b}tan(\varphi)-\varphi_0)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=y_0+b*\sin(\arctan(\frac{a}{b}tan(\varphi)-\varphi_0)) \end{eqnarray*}$
Und damit wird die rechnerische Bestimmung von a, b und phi0 doch wesentlich schwieriger, als ich ursprünglich dachte.

Deshalb schlage ich vor:
Aus den Wertepaaren bestimmen xmin und xmax der Ellipse, ebenso ymin und ymax, der Mittelpunkt der Ellipse ist dann bei (xmin+xmax)/2 und (ymin+ymax)/2.

15.06.2005, 08:32

klopferhein

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Danke, Deine Formel hat mir weitergeholfen den Ansatz zu finden. Werde aber leider aus Ressourcengründen auf die zweite Idee mit Minima und Maxima ausweichen müssen: unglücklich

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