algebraische Körpererweiterung

09.06.2005, 10:51	knoten	Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische Körpererweiterung Hallo zusammen. Wer kann mir helfen? Zu beweisen ist folgende Behauptung: Eine Körpererweiterung M:K ist genau dann algebraisch, wenn jeder Unterring R von M mit K teilmenge R ein Körper ist.
11.06.2005, 10:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchen wir einmal die Richtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ . Aus der Voraussetzung, daß $\begin{eqnarray} M:K \end{eqnarray}$ eine algebraische Körpererweiterung ist, sollen wir also schließen, daß jeder Unterring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K \subseteq R \subseteq M \end{eqnarray}$ sogar ein Körper ist. Nehmen wir also ein solches $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Es bleibt dann nur noch zu zeigen, daß für jedes $\begin{eqnarray} 0 \neq r \in R \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} r^{-1} \in R \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ genügt, da $\begin{eqnarray} M:K \end{eqnarray}$ algebraisch ist, einer Gleichung von minimalem Grad $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ mit Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_{\nu} \in K \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \ldots + a_1 r + a_0 = 0 \end{eqnarray}$ Hierin muß $\begin{eqnarray} a_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ sein, sonst entsteht ein Widerspruch zur Minimalität von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Damit kann man weiter schließen: $\begin{eqnarray} a_n r^{n-1} + a_{n-1} r^{n-2} + \ldots + a_1 + a_0 r^{-1} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r^{-1} = -a_0^{-1} \left( a_n r^{n-1} + a_{n-1} r^{n-2} + \ldots + a_1 \right) \end{eqnarray}$ Die rechte Seite dieser Gleichung zeigt wegen $\begin{eqnarray} K \subseteq R \end{eqnarray}$ und der Ringeigenschaft von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , daß $\begin{eqnarray} r^{-1} \in R \end{eqnarray}$ ist.
11.06.2005, 10:43	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Und für die Rückrichtung betrauchte die Unterringe K[x]. Wenn das ein Körper ist, dann gibt es darin insbes. inverse Elemente. Hilft das schon? Gruß Anirahtak

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