Nilpotente Matrix

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Egon Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Matrix
Guten Abend!

Ich bin gerade an folgender Aufgabe:

Zitat:
Eine quadratische Matrix A bezeichnen wir als nilpotent, wenn für ein passendes k > 0 gilt: A^k = 0. Beweisen Sie, dass E+A invertierbar ist, wenn A nilpotent ist.


Da habe ich lange gerätselt (jaja, die Erfahrenen können lachen) und bin dann plötzlich auf folgende Überlegung gestossen:

Angenommen, es gibt keine solche Inverse, dann gilt:

Das habe ich ausmultipliziert und anschliessend die Ungleichung auf beiden Seiten mit A^(k-1) rechtsmultipliziert. Dies ergab:



Dann habe ich mit A rechtsmultipliziert und erhalte



Da dies ein Widerspruch ist, muss die ursprüngliche Annahme falsch gewesen sein, wodurch bewiesen wäre, dass eine solche Inverse tatsächlich existiert.

Nun habe ich aber Zweifel, ob dieser Beweis so gültig ist, denn er erinnert mich irgendwie an die ominösen Beweise für 5=7, wo man auf versteckte Weise die Gleichung mit 0 multipliziert.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix
Zitat:
Original von Egon
Angenommen, es gibt keine solche Inverse, dann gilt:


Es fehlt: "fuer alle Matrizen (mit dem gleichen Format wie A) I".


Zitat:
Original von Egon
Das habe ich ausmultipliziert und anschliessend die Ungleichung auf beiden Seiten mit A^(k-1) rechtsmultipliziert. Dies ergab:




Das ist nicht OK. Es gilt z.B.



aber




EDIT: Die Aussage ist sehr leicht zu zeigen. Wann ist eine quadratische Matrix invertierbar? Welche Menge muss in diesem Fall gleich {0} sein?
Egon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix
Vielen Dank. Wäre ja auch zu schön gewesen.

So spontan würde ich sagen, eine quadratische Matrix ist invertierbar, wenn sie keine Nullzeile hat. Aber dann wäre die Aufgabe ja zu einfach, da E+A gar nie eine Nullzeile haben kann.

EDIT: Jetzt kommt's mir wieder in den Sinn: Wenn die Determinante nicht null ist, dann ist die quadratische Matrix invertierbar.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Sei A eine nxn-Matrix. Dann sind aequivalent:

(i) A ist invertierbar

(ii) det(A) ungleich 0

(iii) rang(A) = n

(iv) Die Zeilenvektoren von A sind l.u.

(v) Die Spaltenvektoren von A sind l.u.

(vi) Die Matrixabbildung ist bijektiv

(vii) Die Matrixabbildung ist surjektiv

(viii) Die Matrixabbildung ist injektiv

(ix) ker(A) = {0}.


So, jetzt darfst du dir das einfachste von allen aussuchen, um zu zeigen, dass E + A invertierbar ist.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank -- ich überlege mir noch, welches wohl am einfachsten sein könnte.

Etwas Anderes (ich weiss, das ist ein blöder Einwand): Die Aufgaben stammen aus einem Buch und werden pro Abschnitt gestellt. Die Determinante, der Kern und der Rang werden erst später behandelt; auch die lineare Unabhängigkeit ist noch nicht vorgekommen.

Da ich das Thema erst gerade am Erarbeiten bin, bin ich sehr eingeschränkt mit meinen Mitteln.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Und die Invertierbarkeit ist lediglich durch die Existenz einer Matrix B mit AB = BA = E definiert?
 
 
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau:

«Eine Matrix A ist invertierbar, wenn eine Matrix B existiert, für die gilt: AB = BA = E.»

In den Übungsaufgaben musste man dann z. B. beweisen, dass eine Matrix mit Nullzeile nicht invertierbar ist.
Egon Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Meister Google habe ich jetzt einen Beweis gefunden, dass E-A invertierbar ist, wenn A nilpotent ist. Aus diesem heraus habe ich nun eine ähnliche Überlegung gemacht:

Angenommen, es gibt eine Inverse B, es gilt also: . Nehmen wir weiter an, k sei ungerade.

Dann ergänze ich die rechte Seite mit A^k, weil das ja 0 ist:

Und nun mache ich mir zu Nutze, dass sich faktorisieren lässt, und erhalte:



Somit ist also (E+A) invertierbar und die Inverse ist gerade

Wenn nun k gerade ist, ergänze ich im ersten Schritt mit -A^k; der Rest bleibt sich gleich.


Allerdings muss ich zugeben, dass ich auf diese Idee niemals ganz von selbst gekommen wäre. unglücklich Gefreut hat mich lediglich, dass mir kurz vor dem posten noch das Problem des geraden/ungeraden Exponenten aufgefallen ist.
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