Schnittmenge von Unterräumen

14.01.2008, 22:11

hasesh

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Schnittmenge von Unterräumen

Seien $\begin{eqnarray*} U_1, U_2, U_3 \end{eqnarray*}$ dreidomensionale Unterräume eines acht-dimensionalen Vektorraums V, wobei gelte

$\begin{eqnarray*} V = U_1 + U_2 + U_3 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} /cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} /cap \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_3 = \end{eqnarray*}$ {0} .

[Anmerkung: ich finde das Schnittmengenzeichen leider nicht im Formeleditor! /cap]

Wie kann ich das zeigen? Mir fehlt eine Idee, ein Ansatz...

Es sieht ja so aus, als ob die drei UVR linear abhängig bzw. sogar gleich sind???

Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank für eure Hilfe!!

14.01.2008, 22:15

tmo

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RE: Schnittmenge von Unterräumen

Zitat:

Original von hasesh
$\begin{eqnarray*} V = U_1 + U_2 + U_3 \end{eqnarray*}$ .

wie habt ihr das plus-zeichen definiert?

Zitat:

Original von hasesh
Es sieht ja so aus, als ob die drei UVR linear abhängig bzw. sogar gleich sind???

sicher nicht, wenn ihre schnittmenge nur den nullvektor enthält.

14.01.2008, 22:19

hasesh

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ok, nicht gleich, auch nicht linear abhängig?

aber, dann würde ich doch die dim =9 erhalten, wenn ich die drei UVR vereinigen würde?

14.01.2008, 22:24

tmo

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beachte zunächst einmal, dass $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ eine binäre verknüpfung ist.

d.h. du schneidest erst U1 mit U2 (das ergebnis ist entweder ein eindimensionaler vektorraum oder der trivialvektorraum). und das schneidest du dann mit U3.

aber wie genau ist das plus-zeichen zwischen den vektorräumen definiert? einfach als vereinigung?

14.01.2008, 22:27

WebFritzi

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Nimm an, dass es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor x in diesem Schnitt gibt und ergaenze x jeweils zu einer Basis von {x,a,b} U_1, {x,c,d} von U_2 und {x,e,f} von U_3. Zeige dann, dass V = span{a,b} + span{c,d} + span{e,f} + span{x} gilt und fuehre diese Aussage zu einem Widerspruch zu dim(V) = 8.

14.01.2008, 22:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von tmo
aber wie genau ist das plus-zeichen zwischen den vektorräumen definiert? einfach als vereinigung?

Die Summe von Unterraeumen solltest du kennen... Oder?

EDIT: Na, vielleicht nicht. Alter: 17. Sind U und V Unterraeume, dann ist U + V definiert als

$\begin{eqnarray*} U + V = \{u + v : u\in U, v\in V\}. \end{eqnarray*}$

Dies ist dann wieder ein Unterraum.

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14.01.2008, 22:36

tmo

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hab ich schon öfters gesehen, aber muss mir irgendwie entfallen sein unglücklich

unglücklich

tschuldigung, wenn ich durch meine verwirrung beim threadersteller verwirrung gestiftet habe.

14.01.2008, 22:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von tmo
tschuldigung, wenn ich durch meine verwirrung beim threadersteller verwirrung gestiftet habe.

Sicher nicht. Er haette ja auch einfach auf deine Frage anworten koennen...

14.01.2008, 22:59

tmo

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Zitat:

Original von WebFritzi
...dass V = span{a,b} + span{c,d} + span{e,f} + span{x} gilt...

man kann sich sogar einen arbeitsschritt sparen, wenn man nur zeigt:

$\begin{eqnarray*} V \subseteq span(a,b) + span(c,d) + span(e,f) + span(x) \end{eqnarray*}$

ich wollte auch mal etwas wenigstens halbsinnvolles in diesen thread einbringen Big Laugh

Big Laugh

14.01.2008, 23:00

WebFritzi

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Naja, die andere Inklusion ist eh trivial (um mal nicht auf deinen Witz (?) einzugehen... Big Laugh

Big Laugh

).

15.01.2008, 10:41

hasesh

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moin, der threader-steller oder thread-ersteller ist aufgewacht!

äh, ok, ich habe also drei Basen:

mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \ne 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_1 = \vec{x} , \vec{a} , \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2 = \vec{x} , \vec{c} , \vec{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_3 = \vec{x} , \vec{e} , \vec{f} \end{eqnarray*}$

jetzt sagst du, der schnitt von zwei Untervektorräumen ist entweder 1-dimensional oder leer?!

das verstehe ich nicht. gut, nehmen wir $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ . wenn $\begin{eqnarray*} \vec{x} \ne \vec{a} \ne \vec{b} \ne \vec{c} \ne \vec{d} \end{eqnarray*}$

erhalte ich mit ergänzung { $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ } ohne ergänzung {}.

aber, was ist, wenn z.b. $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{c} \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2008, 16:10

tmo

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Zitat:

Original von hasesh
jetzt sagst du, der schnitt von zwei Untervektorräumen ist entweder 1-dimensional oder leer?!

vergiss diese aussage für den beweis am besten. dass dem so ist und warum dem so ist, ist erstmal egal. (das könnte z.b. eine andere aufgabe sein)

viel mehr kommst du mit der annahme x sei in der schnittmenge enthalten zu:

$\begin{eqnarray*} U_1 = span(x,a,b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_2 = span(x,c,d) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_3 = span(x,e,f) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} V = U_1 + U_2 + U_3 = span(x,a,b) + span(x,c,d) + span(x,e,f) \end{eqnarray*}$

zeige nun:

$\begin{eqnarray*} span(x,a,b) + span(x,c,d) + span(x,e,f) \subseteq span(a,b) + span(c,d) + span(e,f) + span(x) \end{eqnarray*}$ und folgere daraus $\begin{eqnarray*} dim V \leq 7 \end{eqnarray*}$ -> Widerspruch.

15.01.2008, 19:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von hasesh
jetzt sagst du, der schnitt von zwei Untervektorräumen ist entweder 1-dimensional oder leer?!

Wo habe ich das bitteschoen gesagt???

15.01.2008, 19:16

hasesh

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nee, du nicht. aber tmo. :-)

15.01.2008, 19:22

WebFritzi

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OK. Dann mach dich jetzt mal daran, die Anleitung von tmo zu beackern.

15.01.2008, 21:07

hasesh

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ok, also...

gegenbeweis:

wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \cap U_3 \ne \end{eqnarray*}$ {0}

dann würde es mindestens ein gemeinsames Element in $\begin{eqnarray*} U_1, U_2, U_3 \end{eqnarray*}$ geben, das $\begin{eqnarray*} \ne 0 \end{eqnarray*}$ ist; z.b. $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ .

ich könnte die UVR mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ zu einer Basis ergänzen, d.h.

$\begin{eqnarray*} B_1 = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \vec{x}, \vec{a}, \vec{b} \end{eqnarray*}$ }

$\begin{eqnarray*} B_2 = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \vec{x}, \vec{c}, \vec{d} \end{eqnarray*}$ }

$\begin{eqnarray*} B_3 = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \vec{x}, \vec{e}, \vec{f} \end{eqnarray*}$ }

dann würde eine gemeinsame Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ aus den Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{x} \end{eqnarray*}$ bestehen, sofern

$\begin{eqnarray*} r*\vec{a} + s*\vec{b} + t*\vec{c} +u*\vec{d} +v*\vec{x}= \vec{0} \end{eqnarray*}$

nur lösbar mit r=s=t=u=v=0. dies sei ebenfalls unterstellt, dann erhielte ich als maximal mögliche dim ( $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ ) = 5

weiter würde ich nun zusätzlich noch $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ hinzunehmen, erhielte ich

$\begin{eqnarray*} r*\vec{a} + s*\vec{b} + t*\vec{c} +u*\vec{d} +v*\vec{x} +w*\vec{e} + y*\vec{f}= \vec{0} \end{eqnarray*}$

wenn dies eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 + U_3 \end{eqnarray*}$ sein soll, müsste gelten, dass die Gleichung nur lösbar ist für

nur lösbar mit r=s=t=u=v=w=y=0. dies sei ebenfalls unterstellt, dann erhielte ich als maximal mögliche dim ( $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 + U_3 \end{eqnarray*}$ ) = 7.

da aber V = $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 + U_3 \end{eqnarray*}$ die Dimension 8 haben soll, d.h. es soll dim (V) = 8 gelten, ist hier ein WIDERSPUCH.

daher kann $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \cap U_3 \end{eqnarray*}$ nur = {0} sein.

15.01.2008, 21:26

tmo

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Zitat:

Original von hasesh
dann erhielte ich als maximal mögliche dim ( $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ ) = 5

und wie sicherst du, dass es nicht noch einen sechsten linear unabhängigeren vektor gibt?
das entscheidende, nämlich $\begin{eqnarray*} span(x,a,b)+span(x,c,d) \subseteq span(x)+span(a,b)+span(c,d) \end{eqnarray*}$ beweist du nicht.

weiterhin versuchst du den beweis unnötig kompliziert zu führen. wenn du dich an die dir gegebene anleitung hältst, kannst du sofort folgern, dass sich jedes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ als linearkombination von a,b,c,d,e,f,x darstellen lässt, also gibt es keine 8 linear abhängigen vektoren.

15.01.2008, 21:51

hasesh

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wenn das so kompliziert ist, dann zeig mir ein einfaches beispiel, wie es mit den spanvektoren einfacher geht. hier brauche ich schlicht ein beispiel.

[Anmerkung. Nach meinen Recherchen in den letzten Monaten gibt es kein gutes Lehrbuch für lineare Algebra, dass sowohl eine Fülle einfacher Beispiele und Beweise enthält, die auch einem Anfänger eine Chance gibt, diese Sachverhalte zu verstehen. Das ist mein Problem, wenn ich ein zwei Beispiele hätte, würde ich die meisten Aufgaben auch hinkriegen... :-( :-) ]

kann ja sein, dass ich das noch nicht verstanden habe, aber ich gehe davon aus, dass

eine basis

- die minimale anzahl linear unabhängiger vektoren enthält, die den Vektorraum / UVR aufspannen.

- für einen dreidimensoionalen raum, aus höchstens drei vektoren bestehen kann.

wie gesagt, wie soll ich denn zeigen, dass

span(x,a,b) + span(x,c,d) + span(x,e,f) Teilmenge von span(a,b) + span(c,d) + span(e,f) + span(x) ist???

gehen wir davon aus, dass drei vektoren, die den UVR aufspannen, die spannvektoren sind... mehr weiss ich nicht.

15.01.2008, 21:54

tmo

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du hast das ja schon verstanden, deine überlegungen sind ja alle richtig.

nur ist die argumentation meiner meinung nach lückenhaft.

um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ gilt, fängst du meist so an:

Sei $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ beliebig.

Nun musst du folgern, dass dann auch $\begin{eqnarray*} a \in B \end{eqnarray*}$ gilt.

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