stochastik, wahrscheinlichkeitsrechnung, bernoulli

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tini198 Auf diesen Beitrag antworten »
stochastik, wahrscheinlichkeitsrechnung, bernoulli
Habe folgende (typische)abituraufgabe zu lösen:
Ein Glücksrad hat 8 gleich große Sektoren, von denen einer rot, drei weiß und vier blau sind.nach dem Drehen des Rades, zeigt ein Pfeil immer auf genau ein Feld.

1. Das Rad wir 7-mal gedreht, berechne die Wahrscheinlichkeit für:
A: blau erscheint max. 5 mal
B:die ersten drei Felder sind blau, dann folgt 2 mal rot und zweimal weiß
C: es erscheint abwechselnd weiß und nicht weiß
D die ersten drei Drehungen sind nicht rot, danach kommt rot insgesamt zweimal vor
E: man erhält genau 3 Felder die blau sind, 3 weiße und 1 rotes
F: unter den ersten drei kommt jede Farbe einmal vor.

2.Wie oft muss man ein Raad mind. drehen, um mit mind. 97% Wahrscheinlichkeit mind. einmal rot zu bekommen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

binomialveteilung, woran hängts?
 
 
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
also ich will dann mal den anfang machen.

A)würde ich mit binomialverteilung lösen. das heisst



was p ist sollte klar sein oder? also maximal 5 bedeutet also P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=5)...
bil Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bil
also maximal 5 bedeutet also P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=5)...


meinte damit P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=5)=?

da war aber loed wohl schneller...
mfg bil
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=5)=?

hallo bil, alter unregsitrierter smile

was ist denn mit P(X=0) passiert!?



schneller: 1-(P(X=6)+P(X=7)) über das gegenereignis
bil Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt an 0 hab ich garnicht gedacht, gehört natürlich auch dazu.
aber über das gegenereigniss ist es wirklich besser bzw. schneller.
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ok da ich gerade in der antwort einen fehler hatte, gebe ich noch tipps bzw. einen lösungsansatz zu der 2)
B)C)D)E)F) kann man alle einfach durch multiplitkation der wahrscheinlichkeiten + binomialverteilung lösen. aber da kannst du ja mal deinen ansatz posten.
also zu 2) der ansatz kommt mir selber etwas komisch vor aber mir fällt gerade nichts besseres ein.

also wieder über das gegenereigniss.
jetzt einfach nach n auflösen oder einfach probierenAugenzwinkern ... sollte dir meine vorgehensweise unklar sein, dann kannst du ja nochmal nachfragen.

gibts da eigentlich nen besseren ansatz?
mfg bil
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen lieben dank, habe das gerade mal ausgerechnet und leider zwei verschiedene ergebnisse heraus. einmal mit dem gegenereigniss : 0,9994564 und P(X=0-5): 0,614846?!
und zu B-F: ich soll also alle ausgerechneten Wahrscheinlichkeiten multipizieren? errechne ich die mit dem baumdiagramm?
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

habe die 2. aufgabe raus:allerdings müsste man ca. 26 mal drehen...ganz schön viel
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
also ich habe bei P(X=0-5) und bei 1-(P(X=6)+P(X=7))=0.9375 rausbekommen. poste mal deine rechnung, dann finden wir schon den fehler.

Zitat:
und zu B-F: ich soll also alle ausgerechneten Wahrscheinlichkeiten multipizieren? errechne ich die mit dem baumdiagramm?

ja das kann man damit machen.

aber nur baumdiagramm reicht nicht immer aus. z.b. bei der D):



also die ersten drei drehungen dürfen nicht rot sein,d.h.:

danach sollen in den letzten 4 drehungen genau 2 mal rot vorkommen also:
wieder binomialverteilung P(X=2). aber n ist jetzt 4 und nicht mehr 7.
und das muss man dann noch addieren.
bei unklaren sachen immer fragen...

2)ja 26 oder 27 hatte ich auch raus.

mfg bil
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

... also hier mal meine Rechnung:

wenn ich 1- P(X=6)+ P(X=7) rechne dann kommt bei X=6 0,00005340576172 und bei X=7 kommt 0,0000009536743164 raus, dann muss ich wohl da schon den Fehler haben, oder?
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

...und als lösung für die B hätte ich dann 9/32768 raus, aber das ist doch nicht richtig, oder? habe einfach ein Baumdiagramm gemacht und dann nach der pfadregel alles multipliziert.
bil Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab das gleiche raus bei der B).

schon die A) gelöst?
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bleib immer noch bei 0,9994564 hängen
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

...und die B ist dann damit gelöst oder muss ich noch Binominalverteilung anwenden?
bei E hab ich dann 27/32768 raus
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ok... dann poste mal deine zwischenschritte.
hier mal zum vergleich P(X=6). kannst ja mal schaun ob du es gleich gerechnet hast:

tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

...ja, dass stimmt auf jeden falll mit meinem überein, und bei X=7 hab, ich dannn halt: 1* 1/128 *1/128 -sorry hab keine ahnung , wie man hier die zeichen... einsetzt
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

...so ich habs endlich raus: 1- (7/128 + 1/128) = 0,9375
bil Auf diesen Beitrag antworten »

also E ist falsch, hier muss man es wieder am besten mit der binomialverteilung lösen. für deine lösung müsste die fragestellung etwa so aussehen:
man erhält erst 3 Felder die blau sind, dann 3 weiße und dann 1 rotes.
siehst du die unterschiede?

also ich will nochmal die binomialverteilung genauer erklären: dann wirds dir vielleicht klarer.

hier steht das k für die anzahl die GENAU vorkommen soll in der ziehung bzw. drehung.p ist die wahrscheinlichkeit von dem ereigniss das k mal genau vorkommen soll. n ist die anzahl der drehungen.
hier ein link wenn du es noch genauer wissen willst(ist für die klausur sicher ganz gut mal durch zulesen):
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

ok A) wäre ja dann geklärt.
mfg bil
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

ich probiers mal so:

ich habe also dann drei aufgaben zu addieren, wobei n 7 ist, k: 3,3,1 und p: 4/8, 3/8 und 1/8?- ne, jetzt bin ich völlig falsch
bil Auf diesen Beitrag antworten »

fast richtig. statt addition musst du multiplizieren.
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab ich gemacht und 0,00360112717 raus
bil Auf diesen Beitrag antworten »

da hast du dich verrechnet. ich hab 0.3024101495 raus. aber bin gerade auch am überlegen ob der lösungsansatz richtig weil wenn ich es "zu fuss" rechne also ohne binomialverteilung komme ich auf was anderes. aber das muss ich mir nochmal genau überlegen. was meinen die anderen?
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

und für die F gilt dann n ist drei, k jeweils eins und p wieder 1/8, 4/8, 3/8 und dann allles multiplizieren?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

vertippt. meinte 0.03024101495 .
sind die anderen aufgaben alle klar?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

also F) kann man so lösen:
alle möglichkeiten sind:

r,w,b | r,b,w | w,r,b | w,b,r | w,r,b | w,b,r = 3!=6 möglichkeiten
also ist P(aufgabeE)=1/2*3/8*1/8*3!
Simonko Auf diesen Beitrag antworten »

mach dir ein baumdiagramm und schreib dir immer die warscheinlichkeiten auf.
dann musst du die pfadregelen anwenden. längst eines pfades wird multipliziert. elementarereignisse werden addiert. mach hier mal ein beispiel es sollte dir dann klar sein:


du hast zwei weisse drei gelbe und eine schwarze kugel. insgesamt sind es 6.
zwei kugeln ohne zurücklegen.

dann machst du dir ein baumdiagramm:

es gilt fürs erste mal ziehen 2/6 chance für weiss, 3/6 für gelb 1/6 für schwarz.
hat man weiss gezogen gilt für das zweite mal ziehen: weiss 1/5; gelb 3/5; schwarz 1/5 usw.

jetzt hast du deine erreignise z.b

A: Mindestens eine gezogene kugel ist gelb
A: {wg,gw,gg,gs,sg}
P({wg})= 2/6 * 3/5 = 6/30
P({sg})= 1/6 * 3/5 = 3/30
usw für alle elementarereiggnise.

dann werden alle zusammengezählt
P(A)=P({wg})+P({gw}) + .......

so einfach ist das :=)
bil Auf diesen Beitrag antworten »

schon wieder vertippt meinte P(aufgabe F)
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke, das habe ich soweit verstanden. kann ich denn die C auch mit einem Baumdiagramm lösen?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

also aufgabe E) mit multiplizieren sollte falsch sein, sorry.

das mit bsp von simonko ist ganz gut. aber du musst halt unterscheiden können wann binomialverteilung schneller geht und wann baumdiagramm besser ist.
das bsp mit mindestens 1 gelb von simanko ist zwar bei zwei ziehungen ohne zurücklegen(das ist übrigens grundvorausetzung für die binomialverteilung) leicht zu lösen aber bei z.b. 8 ziehungen wäre deine menge viel zu gross bzw. würde zu lange dauern. deswegen wäre da binomialverteilung im allgemeinen besser.
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ja die C) ist z.b. perfekt für baumdiagramm.
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

...falls ja, hab ich da dann 0,004827976222 raus, denn ich habe den Pfad 3/8 * 5/8* 3/8...multipliziert
bil Auf diesen Beitrag antworten »

richtig...
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Zunge
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, wenn ich dich hier so lange mit meinen problemen ärger, hab mal wieder eine frage, die E also nicht multiplizieren, war denn die rechnung ganz falsch oder hätte dass nur am ende addiert werden müssen?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

die wird leider ganz falsch sein. bin mir da selber nicht sicher, aber ich poste gleich mal meine idee.
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

und noch meine lösung zu D: 0,010253906 dort habe ich P(nicht rot) mal P(nicht rot) mal P( nicht rot) mal (?) P (X=2) gerechnet
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ok also
E: man erhält genau 3 Felder die blau sind, 3 weiße und 1 rotes gemacht.
das ergebniss das du hattest 9/32768 ist schonmal ein ansatz aber jetzt müssen wir noch alle möglichkeiten dazu multiplizieren.
das heisst wir haben jetzt die wahrscheinlichkeit von der reihenfolge
{b,b,b,w,w,w,r} .
wir müssen jetzt noch alle möglichkeiten finden.

also ich würde so vorgehen:
die wahrscheinlichkeit ist:

schätze das es nicht klar ist wieso oder?

also D) hast du dich verrechnet aber rechenweg sollte richtig sein
tini 198 Auf diesen Beitrag antworten »

meinte zur D auch 0,000140190 und zur E: also deinen weg hab ich kapiert, aber darauf wäre ich nie gekommen...
simonko_ Auf diesen Beitrag antworten »

E: man erhält genau 3 Felder die blau sind, 3 weiße und 1 rotes

E: {bbbwwwr, und alle permuationen .... }

zum schluss P({bbbwwwr}) ausrechnen und P von allen permuationen und dann die addieren und man kriegt die chance raus.

manchmal ist es aber auch besser man negiert das ereignis und macht dann 1-neg(erreignis). kann manchmal schneller gehen.
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