Lösungsmenge einer Ungleichung mit Ln

10.06.2005, 20:04

nordy1980

Lösungsmenge einer Ungleichung mit Ln

Hallo zusammen,

Ich brüte mal wieder über einer Aufgabe die ich auch nach stundenlangem rechnen und Bücherwälzen nicht gelöst kriege. Allerdings glaube ich das ich diesmal einfach nur den Wald vor Bäumen nicht sehe.

Für welche $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\mid x \mid)}{(\mid x \mid -1)(\mid x \mid +1)} \leq \frac{x^2+1}{4} \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze:

Umstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\mid x \mid)}{(\mid x \mid-1)(\mid x \mid+1)} = \frac{ln(\mid x \mid)}{x^2-1} \leq \frac{x^2+1}{4} \end{eqnarray*}$

Grundbedingung: $\begin{eqnarray*} x^2-1\neq0\wedge\mid x \mid>0\Rightarrow \mid x \mid\neq1\wedge\mid x \mid>0 \end{eqnarray*}$

Daraus leiten sich dann folgende 4 Fälle ab:

Fall: $\begin{eqnarray*} x>1\wedge x>0\Rightarrow x>1 \end{eqnarray*}$
Fall: $\begin{eqnarray*} x>1\wedge x<0\Rightarrow \end{eqnarray*}$ keine lösung
Fall: $\begin{eqnarray*} x<1\wedge x>0 \end{eqnarray*}$
Fall: $\begin{eqnarray*} x<1\wedge x<0\Rightarrow x<0 \end{eqnarray*}$

Zu 1:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\mid x \mid)}{x^2-1} \leq \frac{x^2+1}{4} \end{eqnarray*}$
mit dem 3. Binom
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{ln(\mid x \mid)}{x^4-1} \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
mit Kehrwertbildung:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{\ln{x}}\geq 4\ln{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^4\geq 4\ln{x} \ln{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^2\geq 2 \ln{x} = \ln{x^2} \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht wie ich das ln da rauskriege. Die nächsten Fälle werden dann denke ich mal auch lösbar sein wenn ich den entscheidenden Tip bekomme.

Allein vom hinsehen müsste die lösungsmenge $\begin{eqnarray*} (-\infty,1)\cup (1,\infty) \end{eqnarray*}$ sein.

P.S. sind die $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ da korrekt ?

10.06.2005, 20:36

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von nordy1980
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{ln(\mid x \mid)}{x^4-1} \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
mit Kehrwertbildung:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{\ln{x}}\geq 4\ln{x} \end{eqnarray*}$

Hallo! Wie kommst du darauf? Das ist falsch!

Du solltest etwas analytisch an diese Ungleichung herangehen! Augenzwinkern

Guck dir mal den Plot an:

Gruß MSS

10.06.2005, 21:40

nordy1980

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich darauf komme:
Hi Mathespezialschüler

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{ln(\mid x \mid)}{x^4-1} \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{x^4-1}{ln(\mid x \mid)} \leq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{x^4}{ln(\mid x \mid)}-\frac{1}{ln(\mid x \mid)} \geq 4 \end{eqnarray*}$

"oh ne das geht echt nicht ups *g* ich glaube ich sollte mich für die klausur abmelden smile

... nein ist ja noch zeit ... also kopf hoch nordy ..."

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^4-1 \geq 4 ln(\mid x \mid) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^4-1 \geq ln(x^4) \end{eqnarray*}$

Ich will mich da ja analytisch drann machen ... ich muss das doch irgentwie auch so formell zeigen dass da die lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} (-\infty,-1)\cup (1,\infty) \end{eqnarray*}$

rauskommt nur mit dem ln mache ich mir inne buchse ... mist

oder reicht das das ganze mit der bekannten abschätzung

$\begin{eqnarray*} \ln{x}\leq x-1 \end{eqnarray*}$
zu zeigen ?

also so:
$\begin{eqnarray*} x^4=z \Rightarrow \ln{z} \leq z-1, z>0 \end{eqnarray*}$
da ja $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ immer positive Werte liefert.

somit folgt dann L für Fall 1 = $\begin{eqnarray*} (-\infty, \infty)\cup(1,\infty)=(1,\infty) \end{eqnarray*}$

kann man das so sagen oder würdeste mir punkte abziehen ... ?

10.06.2005, 21:49

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von nordy1980
oder reicht das das ganze mit der bekannten abschätzung

$\begin{eqnarray*} \ln{x}\leq x-1 \end{eqnarray*}$
zu zeigen ?

also so:
$\begin{eqnarray*} x^4=z \Rightarrow \ln{z} \leq z-1, z>0 \end{eqnarray*}$
da ja $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ immer positive Werte liefert.

somit folgt dann L für Fall 1 = $\begin{eqnarray*} (-\infty, \infty)\cup(1,\infty)=(1,\infty) \end{eqnarray*}$

Ja, natürlich geht es mit dieser bekannten Abschätzung! Aber was du da am Ende mit den Intervallen schreibst, ist mir schleierhaft. Aber oben ist es zumindest mal die richtige Idee - nur noch etwas schöner aufschreiben:
Es gilt

$\begin{eqnarray*} \ln z\leq z-1\quad \forall\ z>0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |x|>0 \end{eqnarray*}$ , dann ist nach dieser Ungleichung (man setze $\begin{eqnarray*} z=x^4 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} 4\ln |x|=\ln(x^4)\leq x^4-1 \end{eqnarray*}$

Und hier kannst du weitermachen mit "Daraus folgt durch folgende Umformungen die zu beweisende Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \backslash [-1,1] \end{eqnarray*}$ :
..."

Dann bist du fertig! Augenzwinkern

edit: Lösungsmenge verbessert, nachdem mir jetzt auch aufgefallen ist, dass ich da auf dem falschen Dampfer war Hammer

Gruß MSS

10.06.2005, 22:06

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge einer Ungleichung mit Ln

Zitat:

Original von nordy1980
Allein vom hinsehen müsste die lösungsmenge $\begin{eqnarray*} (-\infty,1)\cup (1,\infty) \end{eqnarray*}$ sein.

Gutes Auge, das muss man sagen. Jedenfalls ist es richtig!

Aus lauter Konzentration auf das richtige $\begin{eqnarray*} \ln(z)\leq z-1 \end{eqnarray*}$ darf man ja nicht vergessen, dass diese Ungleichung durch (x²-1) geteilt werden muss...

10.06.2005, 22:12

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da hab ich gar nicht drauf geachtet. Grrrrr, dass mir immer solche Fehler unterlaufen! böse

Danke für die Aufklärung!

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Lösungsmenge einer Ungleichung mit Ln

Verwandte Themen