Minorantenkriterium

10.06.2005, 20:52

Anne1983

Minorantenkriterium

Hallo zusammen,

ich brauche mal eure Hilfe, wie kann ich mit dem Minorantenkriterium beweisen, dass

\sum_{k=1}^\infty ~(k+1)/2k divergiert?

Danke für eure Hilfe.
Gruß Anne

10.06.2005, 20:58

Mathespezialschüler

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Hallo!
Du musst das ganze noch in

code:
1:	[latex]...[/latex]

einfügen, damit eine Formel draus wird! Augenzwinkern

Meinst du

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{k+1}{2k} \end{eqnarray*}$

Wie wär's denn erstmal mit aufspalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{2k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

und jetzt nach unten abschätzen. Schaffst du das?

Übrigens ist das Minorantenkriterium hier etwas übertrieben, es ist ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{2k}=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2k}\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}a_k\neq 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{k+1}{2k} \end{eqnarray*}$ . Und schon deswegen kann es nicht konvergieren ...

Gruß MSS

10.06.2005, 21:04

Anne1983

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ups, hab´s gerade gemerkt, das ich es nicht dazwischen gefügt habe....

Was meinst du mit nach unten abschätzen?
Ist das so, dass ich wie beim Majorantenkriterium ein Folge finden muss, die größer ist als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~(k+1)/2k \end{eqnarray*}$ ist ?

10.06.2005, 21:13

Mathespezialschüler

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Nein, beim Minorantenkriterium musst du eine Gliederfolge finden, die stets kleiner ist, beim Majorantenkriterium eine die stets größer ist!

Gruß MSS

10.06.2005, 21:38

Anne1983

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Wäre dies ein richtiger weg?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~(k+1)/2k \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~(k+1)/4k \end{eqnarray*}$
also muss gelten:

$\begin{eqnarray*} (k+1)/2k \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} (k+1)/4k \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} 4k^2+4k > 2k^2+2k \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} 2k^2>-2k \end{eqnarray*}$

dies ist zwar richtig, jedoch darf die Reihe nur positiv sein und somit konvergiert sie nicht.

10.06.2005, 21:42

Mathespezialschüler

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Mach es dir doch nicht so schwer!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{2k}>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ,

und dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

divergiert, ist doch trivial!!

Gruß MSS

10.06.2005, 21:48

Anne1983

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^ \infty ~\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ divergiert, weil es eine Folge ist mit nur einem Wert, oder?

Somit ist die Folge kleiner als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^ \infty ~\frac{k+1}{2k} \end{eqnarray*}$ , und nach dem Minorantenkriterium divergiert dies dann auch, richtig?

10.06.2005, 21:57

Mathespezialschüler

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Deine erste Zeile verstehe ich nicht ganz. Was meinst du mit "nur einen Wert"?
Es ist ja

$\begin{eqnarray*} s_n:=\sum_{k=1}^n~\frac{1}{2}=\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

und das geht gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , also divergiert es.
Und da

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k+1}{2k}>\sum_{k=1}^n~\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ist, muss auch die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{k+1}{2k} \end{eqnarray*}$ divergieren. Aber, wie oben schon gesagt, ist das Minorantenkriterium hier viel zu hoch gegriffen!

Gruß MSS

10.06.2005, 22:02

Anne1983

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alles klar!
Hab´s verstanden! Rock

Danke für deine Hilfe!

Gruß Anne

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