Produkt zweier Vektoren in Koordinatendarstellung

10.06.2005, 22:16

rainbow

Produkt zweier Vektoren in Koordinatendarstellung

Wie lässt sich die Koordinatendarstellung beweisen?

also das hier meine ich

$\begin{eqnarray*} \vec a * \vec b = a1b1 + a2b2 + a3b3 \end{eqnarray*}$

lg

ps: ich habs versucht, bin aber dran verzweifelt

10.06.2005, 22:40

Egal

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Das hängt stark davon ab was du vorraussetzen kannst. Ich würd auf jedenfall argumentieren das mindestens eine der Koordinaten Null ist notfalls durch Drehung.

11.06.2005, 07:39

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leicht ist es,wenn man noch folgende Definition des Skalarproduktes kennt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}* \vec{b}=| \vec{a}|*| \vec{b}|* \cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

Betrachte nun zwei Vektoren a und b,die ein Dreieck aufspannen.In dieesem Dreieck gitl der Cosinussatz.

Also a und b gegeben,dann gilt:

$\begin{eqnarray*} c^2=a^2+b^2-2ab*\cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |c^2|=|a^2|+|b^2|-2*|a|*|b|*\cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

wobei in der letzten Zeile a,b und c durchweg Vektoren sind.

Wenn du jetz genau hinsiehst,kannst du die vorherige Definition des Skalarproduktes anwenden.Versuchs mal

11.06.2005, 11:12

riwe

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meine meinung als laie:
da gibt es nichts zu beweisen, das ist die DEFINITION des skalarproduktes (in einem beliebigen koordinatensystem, bzw. unabhängig vom koo.system)
während meines wissens
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \vec{b} =\mid \vec{a} \mid \mid \vec{b}\mid cos \alpha \end{eqnarray*}$
nur in einem kartesischen koo.system gilt
werner

11.06.2005, 12:11

JochenX

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hallo laie werner!
ich möchte mal noch eine weitere laienhafte vebesserung deiner aussage machen.....

Zitat:

da gibt es nichts zu beweisen, das ist die DEFINITION des skalarproduktes

da gibt es nichts zu beweisen, das ist die DEFINITION eines skalarproduktes

und die cos-formel ist dann nur eine definition eines winkels BEZÜGLICH eines skalarproduktes
winkel sind also bzgl. anderen Skalarprodukten im Allgemeinen nicht gleich

11.06.2005, 12:18

rainbow

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Hab jetzt endlich die Voraussetzungen gefunden, da hab ich aufgeschrieben:

1) $\begin{eqnarray*} \vec{a}* \vec{b}=| \vec{a}| * | \vec{b}|* \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{a} = | \vec{a} | * | \vec{a} | * cos 0° = | \vec{a} | ^{2}<br /> <br /> | \vec{a} | = | \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{a1^{2} + a2^{2} + a3^{2}} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} \vec a * \vec b = 0 \end{eqnarray*}$

@ n!:

Ich krieg's nicht hin... unglücklich

11.06.2005, 12:43

riwe

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Zitat:

Original von LOED
hallo laie werner!
ich möchte mal noch eine weitere laienhafte vebesserung deiner aussage machen.....

Zitat:

da gibt es nichts zu beweisen, das ist die DEFINITION des skalarproduktes

hallo jochen,
da hast du natürlich vollkommen recht!
außerdem bist du ja NICHTlaie, und daher zu mehr exaktheit - gibt´s das überhaupt: mehr und weniger exaktheit? - verpflichtet!
ich meinte halt das standardskalarprodukt oder so (zumindest habe ich es irgendwo so gelesen).
einverstanden?
und prinzipiell einverstanden, oder liege ich wieder mal falsch?
werner

11.06.2005, 12:53

JochenX

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prinzipiell sehr einverstanden, beim standardskalarprodukt ist das so

ich schau mal für dich in mein LA-Skript:

"Sei V vektorraum mit SKP <.,.> über IK.
||.|| zugeh. norm.

Wenn IK=IR [sie definieren winkel also nur für IR, über IC z.b. oder andere körper sagen sie nichts] und x,y <>0, sei phi aus [o,pi] die reelle zahl mit
cos(phi)=<x,y>/(||x||*||y||)
phi heißt der winkel zwischen x und y,...."

11.06.2005, 16:41

rainbow

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kann mir denn keiner helfen??!!!

11.06.2005, 16:43

JochenX

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PUNKTAUS:
das ist die definition des Standardskalarproduktes
definitionen kann man nicht beweisen

(edit: dabei ist natürlich a=(a1/a2/a3) vorausgesetzt, sonst macht das keinen sinn)

11.06.2005, 17:03

rainbow

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hmm okay..
.. ich weiß nur dass wir diesen dämlichen Beweis mal im Unterricht gemacht haben. Irgendwie über die Einheitsvektoren.

Ich habe aber wie so oft nur die Aufgabenstellung da stehen und nicht das Ergebnis. Hammer

11.06.2005, 17:55

rainbow

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so ich habs hinbekommen, weiß was ich nicht bedacht hatte, meine frage im anderen thread hat sich somit auch erledigt smile

... und man kanns *doch* beweisen!! Augenzwinkern

11.06.2005, 17:57

JochenX

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also da bin ich gespannt

das kommt natürlich darauf an, was ihr festgelegt habt

normalerweise ist die DEFINITION
(x,y,z)*(a,b,c)=xa+yb+zc

11.06.2005, 18:24

rainbow

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Also mit Voraussetzung Nr.3, dass bei zwei Vektoren, die orthogonal zueinander sind, das Skalarprodukt 0 ist, ergibt sich, zumindest für mich, folgender Beweis:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (a_1 * \vec e_1 + a_2 * \vec e_2 + a_3 * \vec e_3) * ( b_1 * \vec e_1 + b_2 * \vec e_2 + b_3 * \vec e_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a_1b_1 \vec e_1 ^{2} + a_1b_2 * \vec e_1 * \vec e_2 + ...+ a_3b_3 \vec e_3 ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a_1b_1 \vec e_1^{2} + a_2b_2 \vec e_2^{2} + a_3b_3 \vec e_3^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Und ich konnte mich auch noch daran erinnern dass wir das in der Schule irgendwie mit den Einheitsvektoren gemacht haben.

Daher finde ich das schon recht schlüssig..

.. sooo
und jetzt zerreiß mich in der Luft Augenzwinkern

11.06.2005, 18:30

JochenX

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Zitat:

.. sooo
und jetzt zerreiß mich in der Luft Augenzwinkern

für wen hältst du mich?

jetzt frage ich mich nur eines: woher nimmst du die tatsache, dass e1*e1=1 ist!?

und jetzt sag bitte nicht (1/0/0)*(1/0/0)=1*1+0*0+0*0=1 Augenzwinkern

edit:
http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt Augenzwinkern

11.06.2005, 18:50

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Also so hatte ich das damals bewiesen:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}* \vec{b}=| \vec{a}|*| \vec{b}|* \cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

Betrachte nun zwei Vektoren a und b,die ein Dreieck aufspannen.In dieesem Dreieck gilt der Cosinussatz.

Also a und b gegeben,dann gilt:

$\begin{eqnarray*} c^2=a^2+b^2-2ab*\cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2*|a|*|b|*\cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

Nach Definition des Skalarprdoluktes folgt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2*\vec{a}* \vec{b} \end{eqnarray*}$

Etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} 2*\vec{a}* \vec{b}=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{b}|^2=b_1^2+b_2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{c}|^2=(b_1-a_1)^2-(b_2-a_2)^2 \end{eqnarray*}$

Weiter geht's:

$\begin{eqnarray*} 2*\vec{a}* \vec{b}=a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-(b_1-a_1)^2-(b_2-a_2)^2 \end{eqnarray*}$

Zussamenfassen ergibt:

$\begin{eqnarray*} 2*\vec{a}* \vec{b}=2a_1b_1+2a_2b_2 \end{eqnarray*}$

Durch zwei ergibt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}* \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2 \end{eqnarray*}$

Analog für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Vielleicht guckt loed (oder jemand anders) drüber.Eventuell kann man das ja im Workshop posten,da dieser Beweis oft gesucht wird.

11.06.2005, 18:56

JochenX

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2 \end{eqnarray*}$

ich muss euch enttäuschen
auch norm ist nichts anders als eine abbildung (von einem vektorraum in den grundkörper) mit einigen eigenschaften (pos. definitheit, dreiecksungleichung und noch "linearität" gegenüber skalarer multiplikation)

über einbeliebiges skalarprodukt kann genau eine passende abbildung definiert werden.... ( ||*||^2=<*,*>, normeigenschaften über skalarprodukteigenschaften nachwisbar)
was du hier schreibst ist genau eine Norm, die über das Standardskalarprodukt definiert wird.

du beweist aber etwas über das skalarprodukt, indem du diese NORM so als gegeben ansiehst......

ganz ehrlich, ich halte nichts davon.

sieht aber ansonsten, wenn mand as richtige als gegeben ansehen kann, nicht schlecht aus.

11.06.2005, 19:26

rainbow

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Zitat:

für wen hältst du mich?

tut mir leid, war nicht böse gemeint, ich rechne nur schon automatisch damit dass eh alles falsch ist was ich sage Augenzwinkern

(oder nur ne schüleranwort oder wie auch immer Augenzwinkern

)

Zitat:

jetzt frage ich mich nur eines: woher nimmst du die tatsache, dass e1*e1=1 ist!?

Zitat:

und jetzt sag bitte nicht (1/0/0)*(1/0/0)=1*1+0*0+0*0=1 Augenzwinkern

*grins*

nee ich hatte halt die def. für das standardskalarprodukt vorausgesetzt.
(wahrscheinlich auch nicht besser)
d.h.

$\begin{eqnarray*} \vec e_1 * \vec e_1 = | \vec e_1 | * | \vec e_1 | * cos \alpha = 1 * 1 * cos 0° = 1 \end{eqnarray*}$

11.06.2005, 19:29

JochenX

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Zitat:

nee ich hatte halt die def. für das standardskalarprodukt vorausgesetzt.

hihi, die da lautet: (a1/a2/.../an)*(b1/b2/.../bn)=a1b1+a2b2+....+anbn für den K^n

tja, ich glaube wir drehen uns im kreise......

als "schülerantwort" ist deins sicher gut *duck*
aber eben sind die winkel über das SKP definiert und nicht andersrum......
gewöhn dich dran smile

naja, ich denke gelöst.....
abwarten, was deine lehrer zu sagen.....

11.06.2005, 19:35

rainbow

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

nee ich hatte halt die def. für das standardskalarprodukt vorausgesetzt.

naja, ich denke gelöst.....
abwarten, was deine lehrer zu sagen.....

ich hoffe die fragen erst gar nicht danach... smile

so, jetzt ist mein "mathematisches gewissen" erst mal beruhigt Augenzwinkern

vielen dank & lg

11.06.2005, 19:45

Poff

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Zitat:

Original von LOED

als "schülerantwort" ist deins sicher gut *duck*
aber eben sind die winkel über das SKP definiert und nicht andersrum......
gewöhn dich dran smile

nein, so geht das nicht.

natürlich kann man was beweisen und muss man auch was beweisen
und zwar das Zusammenpassen der beiden Dinge

a*b = a1*b1 + a2*b2
und
a*b = |a|*|b|*cos(a,b)
.

11.06.2005, 19:53

JochenX

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hallo poff, ich kann deine antwort jetzt nicht nahvollziehen
bemängelst du eine meiner aussagen!?
wenn ja, dann klär mich bitte auf, ich will ja dazulernen....

Zitat:

und zwar das Zusammenpassen der beiden Dinge

a*b = a1*b1 + a2*b2
und
a*b = |a|*|b|*cos(a,b)

das erstere ist ein skalarprodukt, wie man leicht nachrechnen kann, indem man die nötigen an ein skalarprodukt geknüpften bedingungen nachrechnet.
dadurch wird eine norm induziert und dadurch ein winkelsystem......

wobei wie gefordert natürlich: rechte winkel zwischen a und b <=> a*b=0 gilt

also bitte aufklären!

edit: ich muss jetzt weg, bin zum essen eingeladen
werde mir deine bienchen und blümchen geschichten dann später durchlesen und wieder schlauer werden

Wink

poff

11.06.2005, 20:20

Poff

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Nein, das war ein Fall aus dem R3.

Da haben wir eine gängige Norm und ebenfalls Winkel und da kann ich
nicht einfach ein Neues draufdefinieren ohne die Verträglichkeit
untereinander zu verifizieren.

Das gilt für den anderen Fall nicht weniger,
da muss nachgewiesen werden, dass sich so eine Norm definieren
lässt und dass das mit den Winkeln in den Spezialfällen mit dem üblichen
zusammenfällt. Wäre sonst zumindest sehr unschön.

Ich sehe das nämlich genau andersherum. Die 'Definition' kommt
ursprünglich aus dem einfachen 2, 3 dimensionalen Fall und dann hat
sich gezeigt, dass das schön und sinnvoll auf den höheren Fall
erweiterbar ist usw. (was meinst wo das herkommt?)

Kommst vom Höheren angetrabt, musst die Verträglichkeit mit den
anderen Definitionen verifizieren, oder sämtliche Gesetze auf
dieser Grundlage nochmal neu aufrollen usw.
.

12.06.2005, 12:39

JochenX

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hmmm, du redest nur vom anschauungsraum IR^n, oder?
ich denke gerade an die winkel im vektorraum der reellen polynome (in t) z.b., als skalarprodukt z.b. $\begin{eqnarray*} <x,y>=\int_{-1}^{1}~(x*y)~dt \end{eqnarray*}$ (sollte die eigenschaften erfüllen....); norm als wurzel des SKP mit sich selbst
ich glaube spätestens hier muss man davon abstand nehmen, dass die winkel den uns bekannten entsprechen.

für den anschauungsraum und das standardskalarprodukt und das uns bekannte winkelsystem, stimme ich dir auf jeden fall zu.

Zitat:

Die 'Definition' kommt ursprünglich aus dem einfachen 2, 3 dimensionalen Fall und dann hat
sich gezeigt, dass das schön und sinnvoll auf den höheren Fall
erweiterbar ist usw.

das klingt doch irgendwie vernünftig

wer dann auf die idee kam, winkel auch für andere räume auf diese art und weise zu definieren, weiß ich nicht.
ich weiß auch nicht, was die "winkel" zwischen den polynomen oben bedeuten, aber es sind eben winkel, die haben eben keine geometrische bedeutung.

mfg jochen

ps: ändert das irgendetwas an der tatsache, dass ganz oben der beweis der DEFINITION des Stand.SKPes gefragt wird?
oder wird das in der schule grundlegend anders definiert, nämlich über eine grammatrix, also wird NUR angegeben, welche werte sich ergeben, wenn man das SKP der standardbasisvektoren hat.
das wäre ja eine 3x3-matrix und tatsächlich könnte man DAMIT dann auch elegant über die linearität des SKP das für alle vektoren auf diese form bringen.....

12.06.2005, 22:28

Poff

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Zitat:

Original von LOED

ps: ändert das irgendetwas an der tatsache, dass ganz oben der beweis der DEFINITION des Stand.SKPes gefragt wird?
oder wird das in der schule grundlegend anders definiert, nämlich über eine grammatrix, also wird NUR angegeben, welche werte sich ergeben, wenn man das SKP der standardbasisvektoren hat.
das wäre ja eine 3x3-matrix und tatsächlich könnte man DAMIT dann auch elegant über die linearität des SKP das für alle vektoren auf diese form bringen.....

nun mach mal nicht so aufgeblasen, von wegen Schule und Co,
als wenn du da schon ewig weg und nie da gewesen wärst ...
Als Student bist kaum was anderes als ein Schüler, hat nur einen
anderen Namen.

Beeindrucken kannst mich mit dem Zeug nicht ...
Was weiß ich wie das Skalarprodukt hier oder dort in der Schule
eingeführt wird ??
Nolting (Th.Ph. führts zB so: a*b = |a|*|b|*cos(a,b) ein)

Keinesfalls kannst einfach davon ausgehen dass das über eine
Darstellung in einem karthesischen Raum definiert wird und selbst
wenn, dann musst eben a*b = |a|*|b|*cos(a,b) nachweisen.

Im KLARTEXT heißt das, dort OBEN wurde NICHT nach dem
Beweis der Definition des Skalarproduktes nachgefragt, sondern
nach einer Folgerung aus dessen Definition. Mit anderen Worten
aus jener Fragestellung lässt sich ziemlich unzweifelhat herauslesen,
dass das Skalarprodukt eben NICHT über jene karthesische Darstellung
eingeführt wurde.
.

13.06.2005, 00:06

JochenX

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hallo poff
es tut mir leid, wenn ich arrogant rübekam, das wollte ich nicht (das könnte ich mir gar nicht erlauben!)

ich weiß nur, was ich in der schule gelernt habe und das war leider etwas anderes als ich an der uni gelernt habe und das ist eine TATSACHE.
in der schule war es eben bei uns auch DAS (für uns einfach einzige) skalarprodukt wie man es eben zunächst lernt (ich glaube man sieht einiges mit ganz anderen augen als in der schule, vor allem das ganze thema vektorräume, da wir in der schule immer im IR^2 oder IR^3 gerechnet haben, da sind vektoren eben noch pfeile)

und den rest habe ich aus meinem ([ironie]vemutlich völlig falsch geschriebenen [/ironie] LA-Skript) und immerhin stand ich mit meiner meinung, dass oben wäre alles definitionssache ja nicht ganz alleine da (s. werner)

wenn du jetzt schlecht von mir denken willst, so ist das deine sache. *schulterzuck*
mfg jochen

09.07.2005, 19:39

phi

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Hier geht es einfach nur darum zu beweisen dass beide Definitionen äquivalent im IR^3 sind . Augenzwinkern

P.S.: Kleiner Vorzeichenfehler: +(b2-a2)^2

Zitat:

Original von n!

$\begin{eqnarray*} |\vec{c}|^2=(b_1-a_1)^2 - (b_2-a_2)^2 \end{eqnarray*}$

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