Beweis gleichmäßige Stetigkeit einer Normfunktion

11.06.2005, 11:30

oldwise

Beweis gleichmäßige Stetigkeit einer Normfunktion

Hallo liebe Freunde der Mathematik Wink

ich habe hier folgende Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{||x||_\infty}{||x||_2}x \end{eqnarray*}$

ich soll nun zeigen oder widerlegen, dass sie gleichmäßig stetig ist.

ich hab mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = mx+n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n:=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m:=\frac{||x||_\infty}{||x||_2} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} ||x||_\infty > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||x||_2 > 0, ~\forall~ x\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gilt, existiert solch ein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ beschreibt also den Anstieg der Funktion.

nun nehme ich mir z.Bsp. ein $\begin{eqnarray*} x_1=(1,0) \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x_2=(1,1) \end{eqnarray*}$ und stelle fest, dass $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ nicht das gleich ist wie das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

das heißt also, dass die Anstiege abhängig von x sind und somit ist die Funktion nicht gleichmäßig stetig.
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Ist die Argumentation in Ordnung oder habe ich etwas nicht bedacht? Oder ist mein Ansatz schon falsch? Hilfe

11.06.2005, 15:28

Mathespezialschüler

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Hallo!
Wie kommst du denn darauf, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear sei?
Das m müsste doch dann fest sein und für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ müsste diese Beziehung gelten.

Zitat:

Original von oldwise
nun nehme ich mir z.Bsp. ein $\begin{eqnarray*} x_1=(1,0) \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x_2=(1,1) \end{eqnarray*}$ und stelle fest, dass $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ nicht das gleich ist wie das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

Gerade dies zeigt doch, dass $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, also nicht fest gewählt werden kann, sodass $\begin{eqnarray*} f(x)=mx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt!!
D.h., dass dein Ansatz über die Linearität leider schon falsch ist! Desweiteren verstehe ich nicht, wie du folgerst, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, nur weil der Anstieg von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Dann würden für dich ja auch Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nur gleichmäßig stetig sein, wenn sie konstant oder linear sind!??? Daran siehst du, dass das so nicht stimmen kann!

Gruß MSS

edit: Wie ist denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überhaupt in $\begin{eqnarray*} x_0=(0,...,0) \end{eqnarray*}$ definiert? Denn es ist ja $\begin{eqnarray*} \|x_0\|_2=0 \end{eqnarray*}$ !!

11.06.2005, 20:18

oldwise

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danke@ MSS, sowas in der Art habe ich mir schon gedacht, war mir aber nicht sicher.

das wäre jetzt mein nächster Gedanke gewesen. für $\begin{eqnarray*} x = (0,0,...,0) \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ existiert die Funktion nämlich nicht von daher ist sie an dieser Stelle x nicht stetig und somit ist die Funktion nicht stetig. Deshalb ist sie dann auch nicht gleichmäßig stetig.

11.06.2005, 20:37

Mathespezialschüler

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Halt! Nicht so schnell!
1. Die Funktion ist im Moment im Nullpunkt weder stetig noch "nicht stetig" (unstetig), weil sie da ja nicht definiert ist! Allerdings müsste sie definiert sein.
2.

Zitat:

Original von oldwise
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{||x||_\infty}{||x||_2}x \end{eqnarray*}$

Wenn dort so etwas steht, ich meine das $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ irgendwie im Nullpunkt definiert sein! Denn diese Schreibweise bedeutet, dass jedem Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ genau ein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zugeordnet wird. Dies stimmt aber für den Nullpunkt bis jetzt nicht. Da hätte euer Prof irgendwie so etwas schreiben müssen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{\|x\|_\infty}{\|x\|_2}x & \mbox{für } x\neq (0,...,0) \\ ?? & \mbox{für } x=(0,...,0)\end{cases} \end{eqnarray*}$

An die Stelle der Fragezeichen hätte er dann ein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ setzen müssen. Da hat also euer Prof. einen Fehler gemacht, denn er muss ja auch dem Element $\begin{eqnarray*} x_0=(0,...,0) \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ einen Funktionsvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zuordnen. Mglw. meinte er ja

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{\|x\|_\infty}{\|x\|_2}x & \mbox{für } x\neq (0,...,0) \\ (0,...,0) & \mbox{für } x=(0,...,0)\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

denn diese Funktion ist im Nullpunkt tatsächlich stetig! Aber, wie gesagt, wenn da nicht mehr Informationen gegeben sind, dann ist die Aufgabenstellung vorerst mal falsch gestellt.

Gruß MSS

11.06.2005, 20:40

oldwise

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nein eben nicht. es steht genau so wie ich es geschrieben habe!

(Zeigen oder widerlegen sie, dass die Funktion gegeben durch ... gleichmäßig stetig ist.)

über den punkt (0,0,...,0) ist somit keine Aussage getroffen. außerdem hast du es ja schon angeschnitten für x=(0,...,0) ist ||x|| = 0. dies ist aber ein widerspruch zur definition/eigenschaft der norm. von daher existiert die funktion, die nur so gegeben ist, nicht in diesem punkt.

11.06.2005, 20:58

Mathespezialschüler

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Wie gesagt, dann, denke ich, sollte man die Aufgabe erstmal ruhen lassen und später den Prof fragen.

Zitat:

Original von oldwise
außerdem hast du es ja schon angeschnitten für x=(0,...,0) ist ||x|| = 0. dies ist aber ein widerspruch zur definition/eigenschaft der norm.

Sorry, aber da muss ich wiedersprechen! Wo ist da der Wiederspruch zu einem der Normaxiome?

Gruß MSS

11.06.2005, 22:06

oldwise

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ach quatsch, ich depp, hab nicht nachgedacht. ok, dass passt mit den normaxiomen, da eine Norm N(x) = 0 mit x=0 ist.

ja und nu? bleibt trotzdem das problem bei x=(0,...,0), dass dann die Norm im Nenner zu 0 wird und die funktion dann nicht existiert. und da keine expliziten Angaben in diesem Fall gemacht worden sind, ist sie demnach nicht stetig.

11.06.2005, 22:16

Mathespezialschüler

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Das hab ich doch oben schon gesagt:
Die Funktion ist im Nullpunkt weder stetig noch unstetig!! Eben weil sie dort nicht definiert ist und wenn eine Funktion in einem Punkt nicht definiert ist, dann braucht man da gar nicht über Stetigkeit sprechen.
Wie gesagt, so wie es jetzt da steht, ist die Aufgabe nicht zu beantworten. Erst wenn euer Prof. sagt, wie die Funktion im Nullpunkt definiert sein soll, kann man die Aufgabe neu angehen. Vorher kann man da gar nichts beweisen oder widerlegen, weil es bis jetzt eben noch keine Funktion ist.
Das habe ich alles aber in diesem Thread schonmal gesagt, also lies dir den Thread nochmal durch! Augenzwinkern

Gruß MSS

11.06.2005, 22:18

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Die Funktion ist im Nullpunkt stetig fortsetzbar, einfach durch f((0,...,0))=(0,...,0) . Und so wird die Aufgabe auch gemeint sein, da muss man etwas "großzügig" sein.

11.06.2005, 22:35

oldwise

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ok, ich geb's auf. Forum Kloppe

könnt ihr mir einen Tipp geben? verwirrt

11.06.2005, 22:39

Mathespezialschüler

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Das hatte ich ja oben auch schon angesprochen:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Mglw. meinte er ja

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{\|x\|_\infty}{\|x\|_2}x & \mbox{für } x\neq (0,...,0) \\ (0,...,0) & \mbox{für } x=(0,...,0)\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

denn diese Funktion ist im Nullpunkt tatsächlich stetig!

Wir können ja das mal annehmen (auch wenn ich der Meinung bin, dass der Prof das erst noch ändern müsste Big Laugh

).
Ich hatte mir zuerst überlegt, vll Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen, allerdings ist das nicht so einfach. Die Norm ist ja egal, da alle Normen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ äquivalent sind (das ist doch bekannt oder!?).
Ich versuch mal n bißchen was, aber vll schaffst du's ja auch selbst. Helfen könnte vll.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}\leq \frac{\|x\|_{\infty}}{\|x\|_2}\leq 1\quad \forall\ x\in \mathbb R^n\backslash \{(0,...,0)\} \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

11.06.2005, 22:52

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wir können ja das mal annehmen (auch wenn ich der Meinung bin, dass der Prof das erst noch ändern müsste Big Laugh

)

Ist doch klar, dass man ihm das als erstes unter die Nase reibt... Augenzwinkern

11.06.2005, 23:30

Mathespezialschüler

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Also ich denke, dass diese Funktion für jedes n glm. stetig, sogar Lipschitz-stetig ist! Denn ich glaube kaum, dass man bei solch einer Aufgabenstellung eine Fallunterscheidung bzgl. n machen muss. Z.B. wüsste ich nicht, warum es z.B. für $\begin{eqnarray*} n\leq 5 \end{eqnarray*}$ klappen sollte, für $\begin{eqnarray*} n\geq 6 \end{eqnarray*}$ aber nicht mehr. Ich sehe also keinen solchen Schnitt. Und da im Spezialfall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ trivialerweise eine glm. stetige, sogar Lipschitz-stetige Funktion vorliegt, glaube ich, dass für alle n eine glm. stetige Funktion vorliegt. Die einzige Möglichkeit, die ich mir noch denken könnte, wäre dann nur noch, dass es für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ klappt, für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ aber nicht ...
Das mal als Anmerkung, damit wir mal versuchen, einen Beweis und nicht ein Gegenbeispiel zu finden. Nur das zu beweisen, ist wohl nicht so "einfach" (zumindest für mich (noch) nicht).
Die einzige andere Möglichkeit, die ich mir noch denken könnte, wäre dann nur noch, dass es für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ klappt, für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ aber nicht ...
Hast du nicht eine Idee, Arthur? *g* Augenzwinkern

Gruß MSS

12.06.2005, 11:10

oldwise

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ok, lipschitz-stetigkeit:

ich probiere mal folgendes:

seien $\begin{eqnarray*} x_1,~x_2 \in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} |f(x_1)-f(x_2)|=\left |\frac{||x||_\infty}{||x||_2}x_1 - \frac{||x||_\infty}{||x||_2}x_2\right | = \frac{||x||_\infty}{||x||_2}|(x_1-x_2)| \leq 1 |x_1-x_2| \end{eqnarray*}$

d.h. also es existiert ein L > 0, für die die Bedingung der Lipschitz-Stetigkeit $\begin{eqnarray*} \forall~x_1,x_2\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ erfüllt ist,nämlich 1. ist damit die lipschitz-stetigkeit gezeigt?

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