Einführung in den Begriff Vektorraum

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brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
Einführung in den Begriff Vektorraum
Hi,
einige von EUch weden das jetzt zwar für unmöglich vielleicht auch gar unglaublich halten, aber das Thema hatten wir so niemals behandelt:

Was ist ein VEktorraum?

Ein Vektorraum V ist doch eine Menge von Elementen, die unter einander verknüpft werden können.

Dabei gelten doch folgende Gesetze:



Für alle gilt

Für alle gilt


Es gibt ein mit für alle

zu jedem existiert ein mit


so meine frage jetzt: ist das Neutrale Element immer der VEktor vom Ursprung oder kann das Neutrale element auch mal von ihm abweichen? Stupide Frage zugegeben, eigentlich kann es doch nur der Ursprung jeweils sein, denn alle anderen Elemente besitzen ja von 0 verschiedene zahlen.

so liege ich bis dahin richtig? dann kommt gleich nämlich noch mehr.

Sorry, dafür dass ich das jetzt hier so fragen muss, abe rmich interessiert, ob ich richtig liege, VOR ALLEM, ob auch mein anfang richtig ausgedrückt ist. könnte das mal bitte jemand bestätigen oder negieren??!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo brunsi, da springe ich mal ein:

zunächst ist deine definition völlig unvollständig, denn da fehlt noch die verknüpfung eines vektors mit einem SKALAL aus dem GRUNDKÖRPER.
schau noch mal in deine definition.
desweiteren vergisst du die kommutativität der vektoraddition.

deine punkt, die du nennst kannst du auch schnell so nennen:
die vektormenge ist mit der vektoraddition eine abelsche gruppe (nachschauen)


zu deiner "ursprungsfrage": in einem vektorraum gibt es keinen ursprung......
damit wäre das geklärt.
das kannst du dir nur denken, wenn du bzgl. des anschauungsraumes IR^3 [oder IR^n] ein koordiantensystem ZUSÄTZLICH zur anschaung konstruierst, das hat aber rein gar nichts mit deinem vektorraum zu tun.
der "Nullvektor" ist definiert als x+0=x für alle x, dass muss reichen.

mfg jochen
 
 
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ist das hie rnicht die Kommutativität?

Zitat:
\



und der rest kommt ja noch, wollte nur erst einmal abchecken, ob das was ich bisher gepostet hatte richtig ist.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

huch nicht hingeguckt
aber die skalare multiplikation habe ich nicht übersehen....


Zitat:
Für alle gilt

übrigens: verwende kommas
gilt
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wink

Also schreiben wir nochmal eine Definition eine Vektorraumes auf Augenzwinkern .

Ein Tripel heißt Vektorraum über einem Körper oder '''K-Vektorraum''', wenn die zwei Verknüpfungen
Vektoraddition und
Skalarmultiplikation
definiert sind, die den folgenden zehn Bedingungen genügen:

Für alle Vektoren und alle Skalare gilt:

ist eine Abelsche Gruppe, das heißt,
  • ist wieder ein Vektor aus (Abgeschlossenheit)
  • (Assoziativität)
  • Es gibt einen Vektor (Nullvektor), so dass
  • Es gibt zu jedem Vektor einen inversen Vektor , so dass
  • (Kommutativität)

für die Skalarmultiplikation gilt:
  • liegt wieder in (Abgeschlossenheit)
  • (Assoziativität)
  • (Neutrales Element)

und die folgenden Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation:

  • (Addition in )


edit = PS: Du musst immer genau zwischen Skalaren und Vektoren unterscheiden Augenzwinkern .
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ok, aber wenn ich kommas verwende, dann sieht das so aus, wie es bei dir gerade der fall ist, dann hab ich nur den CODE da stehen und muss mir meinen teil denken, daher hab ich die kommas weggelassen.


so und jetzt zu dem Rest:

Jedem Skalar und Element mit und wird ein Element aus V zugeordnet, welches dann bezeichnet wird und gleichzeitig auch als das r-fache von darstellt.

Hierfür gelten folgende Gesetze:

Für alle und alle gilt

Welche Funktion hat das s hier? soll das einfach nur das "r-fache" dastellen?

Für alle und alle
gilt

Für alle und alle gilt

Für alle gilt

Dann heißt V ein vektorraum, die Elemente heißen dann vektoren.

MEINE FRAGE SIEHE zwischen diesen Bedingungen!!


edit: iammrvip war schneller!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche Funktion hat das s hier? soll das einfach nur das "r-fache" dastellen?

s ist einfach ein weiterer skalar, dass ist so eine art "assoziativgesetz", aber nicht weitersagen den begriff.....


und das nochmal um ein K ergänzt; macht sich einfach besser:
Zitat:
Für alle gilt



was sind nun deine konkreten fragen?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich ne aufgabe dazu:

Bildetdie Teilmengevon einen Vektorraum?


Wie muss ich da nun vorgehen?

edit R^3
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, an sowas gehst du normal ran, indem du nur die unterraumaxiome überprüfst; denn wenn das ein vektorraum wäre, dann wäre das ein TEILRAUM des IR^3

das bedeutet:
alle axiome zeigen, wenn es einer ist
ein axiom finden, dass nicht erfüllt ist, wenn dir kein vektorraum vorliegt

hier recht einfach, denn ein unterraum muss den selben neutralvektor wied er oberraum haben.....
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

gut zu wissen, aber wie gesagt, ich hab zur zeit nicht mal ne ahnung, was nen unterraum ist, das kommt erst in ein paar tagen.

aber wie zeige ich das jetzt? setze ich einfach den vektor in die gesamten bedingungen ein ? da ich das ja mit dem unterraum noch nicht kenne!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, also:
entweder ALLE axiome als erfüllt zeigen, wenn es einer ist
oder
ein axiom finden, dass nicht erfüllt ist, wenn es keiner ist

mfg jochen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Hallo!
@iammrvip
Du sprachest von 10 Bedingungen, ich sehe nur 8! Und das liegt daran, dass du bei der abelschen Gruppe zwei vergessen hast:

  • liegt wieder in (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
  • für alle gilt: (Assoziativität der Vektoraddition)

Gruß MSS
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber ich weiß imme rnoch nciht, wie ich das konkret machen soll, soll ich einfach sagenn, für den und den fall ist das und das axoim nicht erfüllt, weil...??

oder muss ich mir zwei vektoren aus der menge rausnehmen und die dann in alle bedingungen einsetzen??

falls ja, ist es dann völlig egal, welche zwei vektoren ich aus der menge wähle??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Verschoben

und damit sind es endgültig keine pfeile mehr smile


hallo brunsi,
wenn du zeigen sollst, dass es ein raum ist, dann nimmst du für gewöhnlich allgemeine vektoren (bei dir also z.b. mit t1, t2) und zeigst somit, dass es für alle gilt.
wenn du es widerlegen willst, dann kannst du auch ganz konkret zahlenbeispiele nehmen.

zeige hier z.b. dass du 2 vektorenm aus der menge findest, deren summe (hier wohl komponentenweise definiert, das steht da schlampigerweise nicht) nicht in der menge drinliegt.
oder zeige, dass es keinen nullvektor gibt
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
@iammrvip
Du sprachest von 10 Bedingungen, ich sehe nur 8! Und das liegt daran, dass du bei der abelschen Gruppe zwei vergessen hast:

Doch habe ich. Doch ich hab das [*] der Liste davor vergessen. Sry. Hammer
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

es wäre wirklich sehr hilfreich für mich, wenn mir das mit dem Nullvektor mal jemand rechnerisch zeigen könnte, denn ich verstehe hier einfach nicht, wie ich so etwas zeigen soll.

was genau soll ich hinschreiben um zu zeigen, dass es keinen nullvektor oder so etwas gibt??

dies tipps die ihr mir soweit gegeben habt sind zwar hilfreich, doch ich weiß einfach nciht, wie man so etwas aufschreibt.


edit: um zu zeigen, dass kein nullvektor existiert, drehe ich da einfach die vorzeichen der koordinaten um?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wie oben gesagt, müsste als unterraum des IR^3 der nullvektor der des IR^3 sein, also (0/0/0)
alternativ selbst nachdenken: bei komponentenweiser addition kann das nur (0/0/0) sein...... alle anderen vektoren sind nichtneutral

also nun noch zeigen, dass (0/0/0) nicht in deiner menge drin ist......
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

fangen wir da mal ganz anders an,

also ich habe ja die menge{ }

so dann soll ja gelten :



so jetzt setze ich da dann einfach die menge ein? kann man das so machen??

also diese bedingung ist ja erfüllt, da egal, wie ich die vektoren vertausche immer das gleiche raus kommt,richtig???

ich mach ads jetzt schritt für schritt, damit ich das verstehe.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, wenn du zeigen willst, dass eine bedingung (wie hier kommutativität) für ALLE vektoren gilt, darfst du keine speziellen nehmen.

nimm hier z.b. (1/0/s) und (1/0/t) völlig allgemein.

mfg jochen


ps: als übung ist das gut, mal alle zu überprüfen
wenn es aber kein raum ist (wie hier) ist das natürlich größtenteils überflüssig, aber üb nur
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

gut, das heißt dann also das ich das t jeweils durch ne andere variable ausdrücken muss, damit es nicht gleich ist??!!

so die zweite bedingung:



diese bedingung gilt auch für alle negativen parameter r,s,t. also wenn z.B. r=-1 ist??!!!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, was änderst du denn die reihenfolge?

zeige assoziativität so:



und zeige, dass du das gleiche ergebnis erhältst
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann ja:



??!! Willkommen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm joa, wendest 1,2 mal wortlos die KOMMUTATIVITÄT der vektoraddition an
die ist schon bewiesen deswegen geht das

dennoch empfehle ich dir, im zweiten schritt (untere gleichung) die reihenfolge der vektoren einzuhalten.
insbesondere wendest du auch dauernd (die natürlich klare) kommutativität von + in IR an....

gleichheit folgt dann trotzdem sofort....

mfg jochen



ps: beachte auch den unterschied zwischen +_V und +_K
wird aber seltenst anders geschrieben
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

was verstehst du genau hier drunter?

Zitat:
ps: beachte auch den unterschied zwischen +_V und +_K


meinst du, dass ich zufällig auch negative Parameter aus K haben könnte? verwirrt verwirrt

oder das sich etwas bei der addition ändern würde, wenn ich negative parameterwerte hätte? das ergebnis bleibt doch immer gleich!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, aber es gibt zwei unterschieldiche verknüpfungen, die üblicheweise beide + getauft werden

es gibt + zwischen den körperelementen (3+4=7) und es gibt das + zwischen vektoren (vektoraddition)
das sind 2 verschiedene abbildungen!

mfg jochen
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

gut und nun weiter mit den bedingungen:

die nächste währe ja das neutraie E^lement herauszufinden:



da kann es doch nur der Nullvektor sein!! ISt es eigentlich jetzt allgemein gefasst immer der Nullvektor das Neutrale element oder gibt es da auch noch andere Formen? falls ja wäre ich für ein beispiel sehr dankbar!!


gruß dennis


P.S.: zur erinnerung mein name noch mal!! Wink Wink
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

bei solch komponentenweiser definition von der vektoraddition und wenn die vektoren vektoren des K^n sind, dann ist der nullvektor stets der vektor der aus n 0-komponenten besteht (dabei ist 0 das additive neutralelement von K)

also in deinem fall (0/0/0) aber dieses axiom ist eindeutigerweise verletzt!

mfg jochen



ps: unendlichdimensionaler vektorraum aller IR-polynome
nullpolynom ist hier der nullvektor

mfg jochen
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

du ehrlich gesagt habe ich imme rnoch nicht verstanden, wshalb das verletzt sein soll:

Zitat:

also in deinem fall (0/0/0) aber dieses axiom ist eindeutigerweise verletzt!


ich dachte,wenn der Nullvektor dabei heraus kommt, dann ist die bedingung erfüllt??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

liegt dieser vektor denn in deiner menge?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

da die menge (1|0|t] ist wohl nicht, denn für t währe ja auch die koordinate 0 möglich jedoch ist die x-Koordinate 1 un nicht null, daher kann der vektor nicht in der menge liegen. richtig?


hast du dazu noch ne bessere formulierung?


edit: hieße dass denn nicht auch, dass die Addition von Vektoren hier verletzt ist, da diese dann ja nicht mehr für alle vektoren gilt?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »


als formalismus

aber zu deiner aussage: nö passt doch
also kein vektorraum

mfg jochen


ps: gibt auch noch einige andere dinge, z.b. die nichtabgeschlossenheit bzgl. +. die haben wir ja oben schon gesehen
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

also sobald es irgendeinen vektor gibt, der eine dieser gesamten bedinungen nicht erfüllt, ist kein vektorraum vorhanden??

und unterräume können nur vorhanden sein,wenn es vektorräume gibt?


Was heißt das hier konkret, aber bitte für mich als laien sehr verständlich formuliert traurig : Die Teilmenge bildet keinen Vektorraum, da die Summe zweier VEktoren aus der Teilmenge nicht zur Teilmenge gehören und das r-fache eines VEktors aus der Teilmenge gehört nur für r=1 zur Teilmenge.


Da der Nullvektor ist, aber kein Element von der Teilmenge ist, ist die SUmme zweier Vektoren aus der Teilmenge nicht zur Teilmenge gehörig.

Weitere Frage: ISt das alles so korrekt ausgedrückt? Müsste ich, obwohl ich festgestellt habe- mit deiner und iammrvips Hilfe- das eine BEdingung nicht erfüllt ist auch noch die restlichen bedingungen durchgehen?? eigentlich doch nciht??!!


edit: NICHTABGESCHLOSSENHEIT bedeutet also, dass die gesamten oben genannten Bedingungen erfüllt sind??
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
edit: NICHTABGESCHLOSSENHEIT bedeutet also, dass die gesamten oben genannten Bedingungen erfüllt sind??

nö, aber sie sind in der gesamtheit nicht erfüllt.

ein vektorraum liegt vor, wenn alle obigen axiome gelten
ein nicht geltendes axiom reicht also, um keinen vektorraum zu haben....


Zitat:
Da der Nullvektor ist, aber kein Element von der Teilmenge ist, ist die SUmme zweier Vektoren aus der Teilmenge nicht zur Teilmenge gehörig.

denke doch über diese aussage noch mal nach.
das mcht keinen sinn

und V als obervektorraum hat immer "den" nullvektor, denn V erfüllt alle axiome; muss ja is ja ein vektorraum
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

also dann noch einmal:

der Nullvektor ist , aber nicht der Teilmenge.


Wieso gehört denn die SUmme zweier VEktoren aus M nicht zu M? Und wieso gehört das r-fache eines Vektors aus M nur für r=1 zu M?

hast du da noch eine super erklärung auf lager? Willkommen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

weil die summe zweier vektoren este komponente =2 hat; bzw. das r-fache (r<>1) hat in der ersten komponente r

reicht dir das schon!?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das r-fache (r<>1) hat in der ersten komponente r


das muss ich mit diesen bedingungen machen ???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

diese bedingung könntest du ohen weiteres auch für deine teilmenge verifizieren

wieder allgemeinen vektor (1/0/t) nehmen und allgemeine skalare r,s

dann ist eine seite (ohne tex)
r*(s*x)=r*(s*(1/0/t))=r*(s/0/st)=(rs/0/rst)

andere seite nachrechnen, gleichheit erkennen.

mfg jochen
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

und fertig.

also eigentlich mache ich das, wenn ich keinen speziellen vektor habe imme rmit dem allgemeinen? als in meinem Beispiel (1|0|t) ??


dann kommt gleich noch ne andere aufgabe in nem anderen thread, beinhaltet aber das gleiche schema.

aber da vesuche ich das erst einmal alleine und dann stell ich meine lösung hier rein und es wäre sehr nett, wenn du das dann auch noch kontrollieren könntest.

die aufgabe kommt dann heute abend so rein.


vielen dank erst einmal Jochen Willkommen Prost
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also eigentlich mache ich das, wenn ich keinen speziellen vektor habe imme rmit dem allgemeinen? als in meinem Beispiel (1|0|t) ??

ich sags noch mal:
wenn du einen raum hast, musst du ja lle axiome nachrechnen
dann ganz wichtig: in diesen heißt es meistens FÜR ALLE, also musst du es auch FÜR ALLE zeigen; also nimmst du allgemeine vektoren

wenn du den raum widerlegen willst durch ein BEISPIEL, dann kannst (und solltest!) du zahlen nehmen.
hier z.b. einfach: kein raum, denn (1/0/0)+(1/0/0)=(2/0/0) nicht in der menge
also keine abgeschlossenheit bzgl. + und fertig
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