Extremwertaufgabe: Quader in Halbkugel

11.06.2005, 17:05

mys

Extremwertaufgabe: Quader in Halbkugel

Hallo, ich bins mal wieder... *g*

Habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Einer Halbkugel soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche einbeschrieben werden. Wie sind die Maße des Quaders zu wählen, wenn sein Volumen möglichst groß werden soll?

Es sind überhaupt keine Angaben angegeben und deswegen weiß ich garnicht so genau, was ich da überhaupt rechnen soll?!?!

Ich hab trotzdem mal mit einer Skizze angefangen; und zwar hab ich ne Halbkugel mit nem Quader drinne gemalt (logisch^^). Den Quader hab ich mit d für die Seite die am Durchmesser der Halbkugel liegt, mit r für die Seite die dem Radius der Halbkugel entspricht und mit l für die Länge nach hinten (in die Halbkugel rein) gekennzeichnet.

Dann hab ich folgende Formel für das Volumen aufgestellt:
V = d * r * l = max.

und jetzt weiß ich nicht weiter.....

ich hab zwar noch d = 2r im Kopf aber trotzdem weiß ich net so wirklich was ich jetzt weiter machen soll...

Hilfe wäre tooottaaaalll nett *g*

Danke schonmal, cu, mys

11.06.2005, 17:59

etzwane

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Nun soll der Quader noch eine quadratische Grundfläche haben, nenn die Seite mal a, und die Höhe sei h, was ist dann das Volumen? (denn r und d sind eigentlich reserviert für Radius und Durchmesser, wenn Kreis und Kugel dabei sind)

11.06.2005, 19:11

mys

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okay, aber was genau bedeutet quadratische Grundfläche?
$\begin{eqnarray*} V = a^{2} * h \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} V = a * h * l \end{eqnarray*}$

und wie gehts dann weiter??

11.06.2005, 19:20

etzwane

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Quadratische Grundfläche bedeutet, dass die Grundfläche ein Quadrat ist, die beiden Seiten der Grundfläche also gleich sind.

Jetzt mach dir mal eine Skizze von einem Querschnitt durch die Halbkugel, also Halbkreis mit Radius r mit Mittelpunkt im (0|0). In diesen Halbkreis zeichnest du jetzt für den Quader ein Rechteck mit der Höhe h, wobei du noch überlegen/klären musst, was die horizontale Seite des Rechtecks für eine Länge ist (die Grundseite a, oder vielleicht doch nicht ???)

12.06.2005, 19:07

mys

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okay, hab ich gemacht, für mich ist die horizintale seite die grundseite a.

Dann hab ich doch die Volumenformel $\begin{eqnarray*} V = a^2 * h \end{eqnarray*}$ oder??

und wie gehts dann weiter? geschockt

12.06.2005, 19:27

etzwane

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Die Formel für das Volumen ist richtig. Und mit der horizontalen Seite solltest du noch einmal überlegen, nenne die Länge dieser Seite einmal s:

Zitat:

Original von etzwane
In diesen Halbkreis zeichnest du jetzt für den Quader ein Rechteck mit der Höhe h, wobei du noch überlegen/klären musst, was die horizontale Seite des Rechtecks für eine Länge ist (die Grundseite a, oder vielleicht doch nicht ???)

Damit meine ich: s=a ???? oder doch nicht, bitte überlegen !!!

Auf jeden Fall kannst du für s eine Beziehung zwischen s/2, h und r mittels Pythagoras finden, und daraus für a.

12.06.2005, 20:20

mys

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aber wenn das Ding doch eine quadratische Grundseite (heißt doch, dass die Seiten der Grundseite gleich sind??) haben soll, dann muss doch s=a sein... hilfe...

12.06.2005, 20:36

etzwane

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du musst dir das so vorstellen:

wenn a=s ist, dann stossen vorne und hinten die Ecken des Quaders durch die Kugel.

Denn wenn du von oben auf Quader und Halbkugel blickst, was ist dann die längste Strecke, die du sehen kannst ? Und die muss noch innerhalb der Halbkugel liegen.

12.06.2005, 22:06

mys

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ah ja... achso...

aber was is dann die grundfläche? die fläche die ich sehe wenn ich von oben drauf gucke oder die fläche die ich sehe wenn ich von der seite gucke??
wenn es die letztere ist, dann müsste doch a und h gleich sein, oder??

12.06.2005, 23:10

etzwane

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Die Grundfläche ist die Fläche, die du siehst, wenn du von oben drauf siehst.

Wenn du von oben drauf siehst, siehst du also ein Quadrat. Die Punkte des Quadrates, die am weitesten entfernt sind vom Mittelpunkt, stoßen als erstes an die "Innenwand" der Halbkugel. Die Entfernung zweier dieser diagonalen Punkte entspricht der Strecke s in der Seitenansicht. Du musst also den Quader entlang einer Diagonale durchschneioden und in der Seitenansicht darstellen.

Und jetzt musst du aus der Draufsicht s aus a ermitteln, und aus der Seitenansicht s aus r und h, und beides gleichsetzen. Das ergibt a² als Funktion von r und h, das du dann in die Formel für das Volumen einsetzen kannst, und damit musst du eine Extremwertbestimmung durchführen.

13.06.2005, 16:50

mys

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wir habens vorhin in der Schule gemacht...

Die Skizze sieht bei uns jetzt so aus, dass der Radius (r) vom Mittelpunkt der Grundfläche zur oberen Rechten Ecke geht. Von da geht eine Seite runter (h) und von da geht die Seite a halt los. Dann haben wir die Diagonale der Grundfläche gekennzeichnet (d) und konnten so dann zuerst ein Pytagoras-Verhältnis zwischen a und d (a^2 * a^2 = d^2) und dann ein Pytagoras-Verhältnis zwischen d, h und r aufstellen, wobei wir d dann eben durch $\begin{eqnarray*} (\frac{a\sqrt{2}}{2}) \end{eqnarray*}$ ersetzt haben, dann hatten wir folgende Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} a^2 = 2(r^2-h^2) \end{eqnarray*}$ was wir dann in in die Volumenformel eingesetzt haben, also $\begin{eqnarray*} V = 2(r^2-h^2)* h \end{eqnarray*}$

ich habs zwar kapiert jetzt, aber ob ich in der Arbeit selbst auf sowas kommen werde wage ich zu bezweifeln böse