Gilt Ungleichung, so f diffbar?

15.01.2008, 10:43

dhoernchen

Gilt Ungleichung, so f diffbar?

Guten Morgen... wenn Folgendes gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \epsilon>0 , f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist: Existiert offene Menge $\begin{eqnarray*} U\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \le |x|^{1+ \epsilon} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Hat die Menge U hier eine wichtige Bedeutung, oder heißt es einfach, dass ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|= |x|^{1+ \epsilon} \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist?
Oder steh ich mal wieder total auf dem Schlauch, ihr lacht euch tot über eine so einfache Aufgabe, und wollt mir nicht helfen, damit ich für immer dumm bleibe? smile

15.01.2008, 10:52

klarsoweit

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RE: Gilt Ungleichung, so f diffbar?

Zitat:

Original von dhoernchen
Hat die Menge U hier eine wichtige Bedeutung, oder heißt es einfach, dass ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|= |x|^{1+ \epsilon} \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist?

Das mit der Umgebung braucht man, damit man überhaupt sinnvoll von einer Funktion reden kann und damit man für x nahe Null diese Ungleichung verwenden darf.

Im übrigen steht da nicht, daß $\begin{eqnarray*} |f(x)|= |x|^{1+ \epsilon} \end{eqnarray*}$ ist.

Du brauchst im Prinzip nur zeigen, daß der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Augenzwinkern

15.01.2008, 10:54

dhoernchen

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Ich sag schonmal danke für die Hilfe. Werde mein Glück probieren und bei Gelegenheit (wenn es nötitg ist) nochmal nachfragen Big Laugh

18.01.2008, 11:37

dhoernchen

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Zitat:

Original von dhoernchen
Ich sag schonmal danke für die Hilfe. Werde mein Glück probieren und bei Gelegenheit (wenn es nötitg ist) nochmal nachfragen Big Laugh

Nun ist es nötig Big Laugh

also, der differenzialqutient ist ja: $\begin{eqnarray*} \frac {f(x+y)-f(x)}{x-y} \end{eqnarray*}$ , wobei das y hier, den wert darstellen soll, gegen der grenzwert geht... (denke ich)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x+0)-f(x)}{x-0} = \frac{|x|^{1+\epsilon}-|x|^{1+\epsilon}}{x}=\frac{0}{x} \end{eqnarray*}$

Das ist garantiert falsch, da es mir irgendwie seltsam vorkommt.... ich bin wohl ein hoffnungsloser fall...

18.01.2008, 11:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von dhoernchen
also, der differenzialqutient ist ja: $\begin{eqnarray*} \frac {f(x+y)-f(x)}{x-y} \end{eqnarray*}$ , wobei das y hier, den wert darstellen soll, gegen der grenzwert geht... (denke ich)

Da solltest du dir nochmal genauer anschauen, wie der Differentialquotient ausschaut. So jedenfalls nicht.

20.01.2008, 18:09

dhoernchen

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oh sorry...
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$

so, oder? hab (hoffentlich richtig) die betreffenden zahlen schon eingesetzt...
oder ist das auch schon wieder falsch?

wenn das richtig ist, ist folgendes dann auch richtig?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0}\frac{x^{1+\epsilon}-0}{x-0} = \lim_{x \to 0}x^{1+\epsilon -1} = \lim_{x \to 0}x^\epsilon = 0 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert existiert also....
wäre die aufgabe dann damit fertig?

20.01.2008, 18:32

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von dhoernchen
wenn das richtig ist, ist folgendes dann auch richtig?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0}\frac{x^{1+\epsilon}-0}{x-0} = \lim_{x \to 0}x^{1+\epsilon -1} = \lim_{x \to 0}x^\epsilon = 0 \end{eqnarray*}$

Nein, du hast $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{1+\varepsilon} \end{eqnarray*}$ benutzt, das gilt aber nicht! Das wurde dir weiter oben auch schon einmal gesagt. In der Aufgabe steht, dass in einer Umgebung um die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq |x|^{1+\varepsilon} \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt, und nicht, dass dort Gleichheit gilt!

Du solltest den Limes zunächst einmal weglassen und den Betrag des Differenzentenquotienten betrachten. Also

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right| \end{eqnarray*}$ .

Diesen kannst du zunächst vereinfachen, beachte dabei $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ (warum gilt das?). Anschließend kannst du die Ungleichung, die in der Aufgabe gegeben ist, benutzen.

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