vollkommene Zahlen

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11.06.2005, 19:55	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
vollkommene Zahlen Hallo, ich hab zwei Fragen zu vollkommenen Zahlen: 1. Wie kann ich zeigen, dass wenn n eine gerade und vollkommene Zahl ist, n dann die Endziffer 6 oder 8 hat? 2. Wie kann ich zeigen, dass wenn n eine gerade und vollkommene Zahl ist, dann die Quersumme von n bei Division durch 9 den Rest 1 hat? n heisst vollkommen, wenn die Summer ihrer Teiler gleich 2*n ist.
11.06.2005, 20:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Darfst du bereits die Darstellung $\begin{eqnarray} 2^{m-1}(2^m-1) \end{eqnarray}$ (mit Zusatzvoraussetzung $\begin{eqnarray} 2^m-1 \end{eqnarray}$ prim) für alle geraden vollkommenen Zahlen nutzen?
11.06.2005, 20:17	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, keine Ahnung. Das haben wir jedenfalls noch nicht gezeigt. Wir machen im Moment was mit Kogruenzen... Kann man denn mit deinem Ansatz folgern, wie die Endziffern sein muessen? Oder zeigt dein Ansatz, dass n vollkommen und gerade ist?
11.06.2005, 21:53	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab jetzt rausgefunden, wieso man eine gerade vollkommene Zahl mit deiner Darstellung schreiben kann... Aber das hilft mir leider gar nicht weiter bei meinem Problem mit der Endziffer.
11.06.2005, 22:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Endziffer von $\begin{eqnarray} 2^m \end{eqnarray}$ (und damit auch von $\begin{eqnarray} 2^{m-1} \end{eqnarray}$ ) hängt für m>0 nur von der Restklasse dieses m modulo 4 ab. Das sollte reichen, um die möglichen Endziffern von $\begin{eqnarray} 2^{m-1}(2^m-1) \end{eqnarray}$ zu bestimmen.
12.06.2005, 11:54	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ausser wenn m in der Restklasse 0 ist, haben alle Zahlen die Endziffer 6 oder 8. Bei Restklasse 0 ist aber auch, dass der zweite Term keine Primzahl ist, also fallen diese Zahlen sowieso raus... Hast du auch eine Idee, wie ich die 2. Aussage zeigen kann?
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12.06.2005, 16:28	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich zeigen, dass wenn n eine gerade und vollkommene Zahl ist, dann die Quersumme von n bei Division durch 9 den Rest 1 hat?
12.06.2005, 16:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dasselbe in Grün: Bei der ersten Aufgabe wurde m modulo $\begin{eqnarray} \varphi(10)=4 \end{eqnarray}$ betrachtet, jetzt bei der zweiten Aufgabe hilft modulo $\begin{eqnarray} \varphi(9)=6 \end{eqnarray}$ .
12.06.2005, 16:48	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie kann ich daran erkennen, dass ich die Quersumme betrachte??? Wenn ich die letzte Ziffer betrachte, dann laeuchtet mir ein, dass ich modulo 10 betrachten muss, aber wieso wendest du die phi-Funktion an?
12.06.2005, 16:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahl lässt durch 9 geteilt denselben Rest wie ihre Quersumme - das ist die Erweiterung der bekannten Neuner-Teilbarkeitsregel. Und dann gilt für alle zu 2 teilerfremden - mit anderen Worten: ungeraden - Module k: $\begin{eqnarray} 2^{\varphi(k)}\equiv 1\mod k \end{eqnarray}$ .
12.06.2005, 18:37	heiko	Auf diesen Beitrag antworten »
aber damit zeigst du doch nur dass der zweite teil fuer m=c*6 durch 9 teilbar ist. ich seh nicht, wieso dann die ganze zahl durch 9 geteilt den rest 1 haben soll...
12.06.2005, 19:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mal ausführlich: m=2 und 3 werden getrennt untersucht. Ansonsten gilt für Primzahlen m entweder m=1 oder 5 modulo 6. Für m=1 mod 6 gilt $\begin{eqnarray} 2^{m-1}\equiv 1\mod 9 \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} 2^{m-1}(2^m-1)\equiv 1\cdot(2\cdot 1-1)=1\mod 9 \end{eqnarray}$ . Für m=5 mod 6 gilt $\begin{eqnarray} 2^{m-1}\equiv 7\mod 9 \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} 2^{m-1}(2^m-1)\equiv 7\cdot(2\cdot 7-1)\equiv 1\mod 9 \end{eqnarray}$ . EDIT: Ich sehe gerade, für m=2 und die damit verbundene vollkommene Zahl 6 gilt diese Aussage nicht. Aber für alle anderen.

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