Messbarkeit monotoner Funktionen

11.06.2005, 21:15	Kevin K.	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit monotoner Funktionen Hi, wir haben im Studium jetzt mit der Maßtheorie losgelegt und mir ist da eigentlich noch so garnichts klar. Trotzdem muss ich zeigen, das eine monotone Funktion f: R->R messbar ist. Ich hab die folgende Def. auf wiki gefunden: Eine Funktion f ist genau dann messbar, wenn $\begin{eqnarray} \{x \in X : f(x) \leq a, a \in \mathbb R\} \in A \end{eqnarray}$ ist. Nur kann ich damit recht wenig anfangen. Ich weiß auch nicht, wie ich diese Borel-sigma-Algebra verstehen soll. Wäre um Hilfestellung sehr dankbar.
11.06.2005, 22:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt so, als wären die Lücken größer als das vorhandene Wissen. Da ich hier schlecht eine ganze Vorlesung halten kann, als erstes mal ein Link: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=164498#post164498
12.06.2005, 21:36	Kevin K.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gebiet scheint mir einfach nciht zu liegen. Mein Ansatz ist jetzt: Wenn f:R->R o.B.d.A monton steigend ist, dann gilt für $\begin{eqnarray} x_1 \leq x_2 : f(x_1) \leq f(x_2) \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} W:= \{y \in \mathbb R \| \exists x \in \mathbb R : f(x)=y \} \end{eqnarray}$ , dann ist die Menge W eine Teilmenge der Borel-sigma-Algebra, die ja von offenen Intervallen erzeugt wird, und somit selber messbar. (Ich kann W doch durch abzählbare Vereinigungen, Durchschnitte und Komplentbildungen durch offene Intervalle aus R darstellen.) Weiter nach der Definition: Eine Funktion f ist genau dann messbar, wenn $\begin{eqnarray} f^{-1} (\{y \| y > a \}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ im "ersteren Messraum" messbar ist. Sei jetzt $\begin{eqnarray} f(x_n) > a, dann ist f^{-1} (\{y \| y > a\}) = \{x \| x \geq x_n \} \end{eqnarray}$ und dieses ist eine halboffene Menge welche ich durch abzählbar viele Vereinigungen, Durchschnitte und Komplente erzeugen kann -> messbar. Ist da immerhin irgendwo was richtiges dran oder ist einfach alles "idiotisch"?
12.06.2005, 22:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da ist schon was Wahres dran. Aber ich will mal die Argumentation etwas ordnen: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\Omega_1\to\Omega_2 \end{eqnarray}$ , die vom Meßraum $\begin{eqnarray} (\Omega_1,\mathfrak{F}_1) \end{eqnarray}$ in den Meßraum $\begin{eqnarray} (\Omega_2,\mathfrak{F}_2) \end{eqnarray}$ abbildet, heißt ja meßbar, falls die Urbilder aller Mengen der Bild-Sigmaalgebra $\begin{eqnarray} \mathfrak{F}_2 \end{eqnarray}$ in der Urbild-Sigmaalgebra $\begin{eqnarray} \mathfrak{F}_1 \end{eqnarray}$ liegen. Nun ist es aber bereits ausreichend, falls dies für alle Mengen eines Erzeugendensystems von $\begin{eqnarray} \mathfrak{F}_2 \end{eqnarray}$ gilt. Für die Borel-Sigmaalgebra bilden z.B. die von dir genannten Mengen $\begin{eqnarray} \{y \bigm\| y>a\} = (a,\infty) \end{eqnarray}$ , rechts also Intervallschreibweise, ein solches Erzeugendensystem. Wenn es dir gelingt zu zeigen, dass für alle reellen Zahlen a eine der vier Varianten $\begin{eqnarray} f^{-1}((a,\infty)) = \begin{cases}\emptyset\\ \mathbb{R} \\ (b,\infty) \\ [b,\infty)\end{cases} \end{eqnarray}$ (mit irgendeiner reellen Zahl b) gilt, dann bist du fertig, denn diese Mengen gehören alle zur Borel-Sigmaalgebra. Und das lässt sich tatsächlich aus der Monotonie von f folgern.

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