linear unabhängig

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15.01.2008, 13:58	newsys	Auf diesen Beitrag antworten »
linear unabhängig Hallo, ich habe die Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Vektoren (b,1,0),(b,0,1),(b,1,1) genau dann linear unabhägig sind, wenn $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ Ich habe das Problem, dass ich nicht weiß wie ich da ran gehen soll. Muss ich nun mit diesem Ansatz $\begin{eqnarray} \lambda 1v1 + \lambda 2v2 + \lambda 3v3 = (0,0,0) \end{eqnarray}$ arbeiten?
15.01.2008, 14:06	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine "genau dann wenn " Aussage zu zeigen. Du musst also einerseits zeigen, wenn diese 3 Vektoren lin. unabhängig, dann folgt zwangsweise $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ Und wenn $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ dann sind die Vektoren lin. unabhängig. JA du musst mit diesem Ansatz arbeiten.
15.01.2008, 14:15	newsys	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda 1(b,1,0) + \lambda 2(b,0,1) + \lambda 3(b,1,1) = (0,0,0) \end{eqnarray}$ Wie muss ich nun weitermachen? So? $\begin{eqnarray} \lambda 1\cdot b + \lambda 2\cdot b + \lambda 3\cdot b = 0 \end{eqnarray}$ Hab gerade irgendwie ein Blackout...
15.01.2008, 14:24	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn b=0 sind die Vektoren nicht linear unabhängig, also gilt: $\begin{eqnarray} \lambda_1(0,1,0) + \lambda_2(0,0,1) + \lambda_3(0,1,1) = (0,\lambda_1+\lambda_3,\lambda_2+\lambda_3)= (0,0,0) \end{eqnarray}$ Was kannst du daraus folgern; ist diese Gleichung erfüllbar, ohne die Lambdas auf Null zu setzen?
15.01.2008, 14:29	newsys	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung ist erfüllbar. $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ kann zB 1 sein und $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ dann -1. $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ dann auch 1[/latex] also linear abhängig oder
15.01.2008, 14:33	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt! Die Gleichung ist erfüllt für alle $\begin{eqnarray} \lambda_1=\lambda_2=-\lambda_3 \end{eqnarray}$ .
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15.01.2008, 14:35	newsys	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok und nun?
15.01.2008, 14:41	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es möglich ist, die drei Vektoren zum Nullvektor zu kombinieren ohne alle Lambdas auf Null zu setzen, sind die Vektoren, wie du schriebst, für b=0 linear abhängig. Und für $\begin{eqnarray} b\neq0 \end{eqnarray}$ erhältst du ja: $\begin{eqnarray} \lambda_1\begin{pmatrix}b\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}b\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}b\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1b+\lambda_2b+\lambda_3b\\\lambda_1+\lambda_2\\\lambda_2+l_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Sorry, aber ich muss am Schluss $\begin{eqnarray} l_3 \end{eqnarray}$ schreiben, sonst kommt ein LaTeX-Fehler; gemeint ist $\begin{eqnarray} \lambda_3 \end{eqnarray}$ ) Wie müsstest du die Lambdas hier wählen, um den Nullvektor zu erhalten?
15.01.2008, 14:44	newsys	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Aber heißt das nun auch, dass die Vektoren linear unabhängig sind, wenn b ungleich 0 ist?
15.01.2008, 16:24	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Siehe mein obiges Posting (wir haben uns im Edit gekreuzt). Die unteren beiden Zeilen verlangen: $\begin{eqnarray} \lambda_1=-\lambda_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2=-\lambda_3 \end{eqnarray}$ daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \lambda_1=\lambda_3 \end{eqnarray}$ Und wenn das gilt, dann kann die oberste Zeile unmöglich 0 ergeben, ausser eben für b=0 (EDIT: oder natürlich für alle Lambdas = 0)

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