Herleitung für Volumenformel einer Kugel

12.06.2005, 00:28	klala	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung für Volumenformel einer Kugel Hallo ersten hoffe ich jetzt keinen Blödsinn gemacht zu haben, weil ich schreibe zum ersten Mal Und zweitens kann mir jemand erklären wie man mit Hilfe vom Integral das Kugelvolumen herleitet.
12.06.2005, 03:48	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir das Volumenintegrale ein Begriff? Siehe bitte hier
12.06.2005, 07:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Kugel vom Radius $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ ist ein Rotationskörper. Sie entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{r^2-x^2} \, , \ \ -r \leq x \leq r \end{eqnarray}$ um die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse. Und deshalb ist ihr Volumen $\begin{eqnarray} V = \pi \int_{-r}^r~\left( f(x) \right)^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Auf die Funktionsvorschrift kommt man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Wenn der Kreis den Ursprung als Mittelpunkt hat, so fällt man von einem oberhalb liegenden Kreispunkt $\begin{eqnarray} \left( x,f(x) \right) \end{eqnarray}$ ein Lot auf die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse. $\begin{eqnarray} x,f(x) \end{eqnarray}$ sind dann die Katheten und $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
12.06.2005, 14:22	klala	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dank ihr habt mir sehr geholfen obwohl eure Erklärungen teils weit über meine Mathekentnisse aber ich glaube ich hab es verstanden allerdings bin ich mir nicht sicher ob das auch wirklich so geht. Ich habe jetzt einen Kreis mit dem Mitelpunkt im Uhrsprung angenommen und lasse die die funktion zwischen 0 und r um die x-Achse rotieren. So müsste ich eine Halbkugel bekommen und die dann nur mehr mal 2. $\begin{eqnarray} f: x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = 2\pi \int_{r}^{0}~(r^2-x^2)~dx =[r^2x - x^3/3]_{0}^r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = 2\pi (r^3 - r^3/3) = 2\pi ( 2r^3/3 ) = 4r^3\pi /3 \end{eqnarray*}$
12.06.2005, 14:26	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
sieht gut aus, nur beim Integral solltest du die Integrationsgrenzen oben und unten vertauschen
12.06.2005, 17:50	klala	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ja die ewigen Schlampigkeitsfehler aber wenn das also stimmt habt ihr meine Matura gerettet schade das ich diese tolle Seite erst jetzt endeckt habe. Vielen Dank.
Anzeige

03.07.2006, 23:09	marioromshelp	Auf diesen Beitrag antworten »
nice work super klasse eure Arbeit! ich konnte mir davon etwas abschneiden
24.01.2007, 17:43	cada	Auf diesen Beitrag antworten »
wo liegt mein denkfehler? Sorry Leute, aber seit wann ist r³-r³=2r³??? also bei mir ist das Null, oder mache ich da was falsch?
24.01.2007, 18:10	cada	Auf diesen Beitrag antworten »
Mist OK, vergesst es! Hab den Fehler sorry manchmal steh ich echt auf der Leitung

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »