Basis eines Matrizen-Vektorraums

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phi Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Matrizen-Vektorraums
Hallo,

Bei dem Versuch eine Basis für einen Vektorraum aller mxn-Matrizen über einen Körper IK zu finden, hab ich anhand des folgenden Beispiels den Ansatz:

Beispiel: hat als Basis (?):




Kann das stimmen ?

Danke, Phi
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

probiers aus!
dazu definiere natürlich: wie funzt die vektoraddition? wie funzt die skalare multiplikation?
ich sag mal ganz sicher: komponentenweise

was muss eine basis erfüllen?
zeige, dass die elemente lin. unabh. sind und den ganzen raum aufspannen!
nur mut nur zu nur ran an den speck!

mfg jochen Wink
phi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Matrizen-Vektorraums
Hallo LOED, Wink

Addition und skalare Multi´ sieht man (fast) schon durch genaues hinschauen.

Wir setzen
, wenn irgend eins der Koeffi´s nicht Null wäre könnte niemals 0 rauskommen, --> linear unabhängig.

Sei M eine beliebige Matrix, k_i seien geeignete Elemente aus einem Körper IK, e_i die oben vermuteten Einheitsvektoren:
Dann läßt sich M darstellen als

.

--> Jedes M aus IK^(mxn) läßt sich als Linear-Kombination der Elemente e_i darstellen. Die Menge B ist Ezeugendensystem und somit Basis von IK^(mxn) .

Das war ja einfacher als ich dachte.. (Wenn alles stimmt)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das war ja einfacher als ich dachte.

das ist mathematik smile

stimmt bis auf kleinigkeiten im ausdruck:
die k_i sind nicht beliebige körperelemente, dass sind natürlich die Einträge von M!

Zitat:
e_i die oben vermuteten Einheitsvektoren

wenn du schon von "vermutet" redest, dann willst du wohl basisvektoren sagen
dass das eine art einheitsvektoren sind, das sieht man ja smile




Zitat:
Addition und skalare Multi´ sieht man (fast) schon durch genaues hinschauen.

tja, phi, diese beiden verknüpfungen sind an sich DEFINITIONSSACHE; durch genaues hinschauen sieht man da GAR NICHTS
man kann das nur vermuten, denn das ist üblich so bei diesen vektorräumen

mfg jochen




ps: der vektorraum der mxn-matrizen ist übrigens ISOMORPH zum vektorraum der spaltenvektoren mit m*n komponenten
(klar, wenn man die vektoren als darstellung zu deiner standardbasis oben denkt)
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, man definiert erst Addition und skalare Multi´ komponentenweise, sonst würde der Beweis das B eine Basis ist ja auch nicht funzen.

Vielen Dank smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Okay, man definiert erst Addition und skalare Multi´ komponentenweise

genauer: das wird schon dann gemacht, wenn du deinen vektorraum definierst!
denn ein vektorraum ist ja ein quadrupel (V,+,*, K(+,*)), da muss also schon vektor-+ und skalar-* definiert sein!
 
 
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