Ideale (Ringtheorie)

15.01.2008, 14:19	Kerstin1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale (Ringtheorie) Ich habe noch ziemlich Probleme mit Idealen. Konkret geht es um folgende Aufgabe: "Man bestimmt alle Ideale von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ." Also zum Einstimmen wollte ich erstmal nur $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ betrachten. Da alle Untergruppen der Form $\begin{eqnarray} m\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ sind gilt das insbes. auch für alle Ideale. Z.b. wäre ja $\begin{eqnarray} 2 \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} (2 \mathbb{Z},+) \leq (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray}$ und auch alle $\begin{eqnarray} ri \in 2\mathbb{Z}, \forall r \in \mathbb{Z}, i \in 2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Das stimmt soweit, oder? Dann wäre ein Ideal von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 2 \mathbb{Z} \times 2 \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Allgemein schaut ein Ideal so aus: $\begin{eqnarray} n \mathbb{Z} \times m \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} n,m \in 2 \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ , denn für ungerade n,m hat man kein Ideal. Vielleicht kann mich jemand korrigieren/bestätigen Danke.
15.01.2008, 14:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
warum hat man für ungerade den kein Ideal?
15.01.2008, 14:34	Kerstin1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm ... das habe ich mir gerade falsch vorgestellt. Es muß ja multiplikativ $\begin{eqnarray} ri \in I \end{eqnarray}$ sein... Also dann hat man für alle $\begin{eqnarray} m\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein Ideal?
15.01.2008, 14:43	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den das ist ja gerade das durch m erzeugte Ideal.
15.01.2008, 20:13	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kleine Frage von mir am Rande: Wie ist denn eigentlich die Multiplikation in $\begin{eqnarray} \mathbb Z\times\mathbb Z \end{eqnarray}$ definiert? Ich meine um ein Ideal haben zu können braucht man einen Ring und der braucht eine Multiplikation ? Vielleicht so: $\begin{eqnarray} \cdot:\,\mathbb Z^2\times\mathbb Z^2\to\mathbb Z^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ((x_1,x_2),(y_1,y_2))\mapsto(x_1\cdot y_1,x_2\cdot y_2) \end{eqnarray}$ mit der "üblichen" Multiplikation aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ in den Komponenten?
15.01.2008, 21:43	Kerstin1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das steht nicht explizit dabei (kam auch noch nicht in der VL vor), aber ich bin wie du von komponentenweiser Multiplikation ausgegangen. Alles andere hätte m.E. dabeistehen müssen.
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