Gleichmäßige Konvergenz Rekursiver Folge

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Roman Föl Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz Rekursiver Folge
Hallo,

bei dieser Aufgabe fehlt mir leider der Ansatz.
(Mir ist klar, wie die Funktionenfolge aussieht)
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhilft.

Gruß Roman

EDIT von Calvin
Bild als Anhang eingefügt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Beweise zunächst, dass für jedes (die eckige Klammer in der Aufgabenstellung ist doch sicher ein Tippfehler?!) die Folge monoton steigt (für steigt sie sogar streng monoton) und beschränkt ist. Berechne dann die (vorerst punktweise) Grenzfunktion .

Für alle kann man durch vorheriges geschicktes Umformen geeignet abschätzen und erhält damit die gleichmäßige Konvergenz auf jedem Intervall der Form mit . Auf kann die Konvergenz jedoch nicht gleichmäßig sein, warum nicht?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für die kompetenten Tipps.

Für






Für


Beschränkheit fällt mir gerade nichts zu ein und Punktweise ebenfalls nicht, gibts noch nen Leckerli ?

Gruß
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränktheit könnte ich höchstens so argumentieren, wenn ich das Intervall auf der rechten Seite doch als offen wähle (was wahrscheinlich doch ein Fehler von unserem Prof ist) und für große t ausprobiere. Da t <unendlich ist die Wurzel aus t ebenfalls kleiner als unendlich, mit t unter der Wurzel aufsummiert ergibt es wieder etwas kleineres als unendlich, wieder die Wurzel ziehn und wieder kleiner als unendlich... => beschränkt

Punktweise? Jemand noch nen Tipp?

Gruß
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll



Das, was da steht, ist leider ziemlich falsch! Du hast aus



durch (deine Art von) "Quadrieren" folgendes gemacht:

.

Es muss aber heißen:



und bekanntermaßen ist im Allgemeinen . Des Weiteren ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung und im Übrigen solltest du nicht mit diesen Pünktchen darstellen, sondern mathematisch korrekt mit der Definition der Folge arbeiten. Und da empfiehlt sich sowohl für die Monotonie als auch für die Beschränktheit ein Beweis durch vollständige Induktion. Probier das mal!

Und dein Beschränktheitsargument ist leider ebenfalls total daneben! unglücklich Natürlich ist für jedes , aber deswegen hat man noch lange nicht die Beschränktheit. Das Argument, so wie du es gebracht hast, würde uns auf einmal lehren, dass die Funktion mit



beschränkt ist, was natürlich totaler Quatsch ist! Mache dir das einmal klar. Und danach lese dir noch einmal die Definition von Beschränktheit durch. Dann wirst du sehen, dass keine Begründung für Beschränktheit ist, denn sonst wäre ja jede Funktion, die in die reellen Zahlen abbildet beschränkt, weil sicherlich immer ist (das einfach deshalb, weil jeder Funktionswert eine reelle Zahl ist).
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, natürlich, dann tuh ich das f index n (t) eben erst auf die andere Seite und dann wird quadriert.
Okay, dann habe ich die Beschränktheit wohl bisher etwas falsch aufgefasst. Der Ausdruck müsste kleiner gleich einem S < unendlich sein nicht?
Wie würdest du bei der Beschränktheit herandgehen?

Gruß
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
Ups, natürlich, dann tuh ich das f index n (t) eben erst auf die andere Seite und dann wird quadriert.

Nunja, das ist zwar die richtige Idee, aber das mit den Pünktchen und dem "(n-1)mal noch" ist mathematisch kaum korrekt. Dafür würdest du sicher Punktabzug bekommen. Man kann das auch mathematisch korrekt machen, genau für solche Sachen ist die vollständige Induktion ja nützlich. Also probiere es, wie gesagt, einmal damit!

Zitat:
Original von Roman Föll
Okay, dann habe ich die Beschränktheit wohl bisher etwas falsch aufgefasst. Der Ausdruck müsste kleiner gleich einem S < unendlich sein nicht?

Ja, das ist die richtige Definition!!! Daran musst du dich immer halten und nicht an dieses -Argument!

Zitat:
Original von Roman Föll
Wie würdest du bei der Beschränktheit herandgehen?

Wie ich es weiter oben schon einmal vorgeschlagen habe: Mit vollständiger Induktion. Du kannst z.B. zeigen, dass für alle gilt:

.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung:



Annahme: Gilt für alle .





t ersetzt durch Annahme, dann folgt



Wo steckt der Fehler? die letzte Aussage ist falsch.

Gruß
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf, dass du einfach durch ersetzen darfst? Die beiden Terme sind doch nicht gleich! Es ist . Wenn du das einsetzt, verknüpfst du zwei Ungleichungen, die man nicht verknüpfen darf. Du solltest dir abgewöhnen, Beweise durch rechnerische Umformungen zu machen, denn erstens sind diese manchmal keine Äquivalenzumformungen und zweitens kann es passieren, dass du grundlegende Rechenregeln missachtest. Solange du alle Regeln richtig beachtest, sind Umformungen mit anschließender Begründung kein Problem, allerdings scheinst du Gefahr zu laufen, die Regeln eben falsch anzuwenden. Deswegen mache alles lieber in einer Gleichungs- oder Ungleichungskette. Nimm an, es gelte und gehe nun folgendermaßen vor:



oder ähnlich. Setze also die Definition von ein und schätze dann ab!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Also so, dass ich einfach durch Abschätzung sage:



und da das, was links steht immer größer ist, als das, was daneben rechts steht, stimmt die Aussage?

Gruß
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich nicht. Woher weißt du denn, dass ist? Wie gesagt, du sollst die Definition der Folge einsetzen, d.h.

.

Dann kannst du weiter abschätzen mit der Induktionsvoraussetzung und dann musst du zeigen, dass der entstehende Term ist.

Ich sehe allerdings gerade, dass es mit nichts so gut klappt. Nimm lieber . Zeige also durch Induktion für alle :

.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal, nur die punktweise konvergenz macht mir noch zu schaffen. Wie forme ich das geschickt um, sodass ich den Grenzwert für jedes t erhalte, für 0 ist die sache trivial.

Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grenzfunktion muss notwendig die sich aus der Rekursion ergebende Bedingung



erfüllen - einfach durch Grenzwertbildung auf die Rekursionsgleichung angewandt. Na löse doch (*) einfach mal nach auf (quadratische Gleichung!).


Es bleibt natürlich (wie immer) noch nachzuweisen, dass dieser Grenzwert überhaupt existiert, was hier über Monotonie und Beschränktheit aber schnell machbar ist.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nach auflöse erhalte ich:

, könntest du mir erklären was mir das bringt?
Du bist also mit n gegen unendlich und hast dadurch (*) erhalten, da die Grenzfunktion eben auch die ihr zugrundeliegende Rekursionsvorschrift erfüllen soll.
Heisst das damit sie ist nicht gleichmäßig konvergent, oder wie und was kann ich damit erkennen?
(Die Monotonie bzw. Beschränktheit habe ich schon per Induktion bewiesen)


Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
könntest du mir erklären was mir das bringt?

Dein letztes Posting klang so, als ginge es dir um eine Methode zur Ermittlung dieser Grenzfunktion!!!

Zitat:
Original von Roman Föll
Wenn ich nach auflöse erhalte ich:


Das ist noch kein Auflösen, sondern erstmal nur die Aufstellung der Gleichung, die es zu lösen gilt! Nochmal: Quadratische Gleichung
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal für die schnelle Antwort. Ich verstehe nicht was du mit auflösen meinst. Wie muss ich vorgehen und was muss ich machen?

Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir leider auch nicht folgen - ich dachte, du wolltest wissen, wie man von



zu

für

kommt. Sollte es dir um etwas anderes gehen, dann habe ich dich offenbar missverstanden - entschuldige die Störung. Wink
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Nein darum ging es mir nicht, aber trotzdem danke für die Mühe! Freude

Nochmals meine Frage: Wie erhalte ich die punktweise Grenzfunktion?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
Wie erhalte ich die punktweise Grenzfunktion?

Du kannst einen wirklich zur Weißglut treiben: Wovon habe ich wohl die ganze Zeit gesprochen? Finger1
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt Ehrlich, dann erkläre bitte genau wie. (Ich glaube das Missverständniss lag darin, dass mir vorher niemand konkret gesagt hat, das schon etwas mit der Grenzfunktion zu tun hat. So wie ich das jetzt verstehe ist diese Aussage schon die Grenzfunktion?!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So habe ich doch definiert:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Grenzfunktion muss notwendig ...

Also bitte gründlicher lesen!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, das könnte sein Forum Kloppe , aber ich vestehe immer noch nicht was ich jetzt mit anstellen soll?quadratische Gleichung sagt mir im Bezug auf das nichts. Also konkret nocheinmal: ist diese Aussage die punktweise Grenzfunktion?

Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
aber ich vestehe immer noch nicht was ich jetzt mit anstellen soll?quadratische Gleichung sagt mir im Bezug auf das nichts

ist die punktweise definierte Grenzfunktion, soweit sollte es jetzt erstmal klar sein. Du willst nun für zunächst festes Argument den Wert bestimmen. Und für den gilt nun , umgestellt

.

So was nennt man landläufig eine quadratische Gleichung für . Ich nehme an, so was ist dir schon mal begegnet?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

... danke dir vielmals Freude .
Das so aufzufassen, wäre ich bei Weitem nicht drauf gekommen. Okay, das ist mir nun verständlich.

Die Folge ist demnach nicht gleichmäßig konvergent, weil:



nicht erfüllt ist, weil für t = 0 auf der linken Seite immer 1 steht und das somit nicht für jedes epsilion gilt , richtig?

Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht der Grund. Im Punkt ist die Grenzfunktion gleich Null, d.h. - ich habe oben nicht ohne Grund geschrieben, dass nur für gilt!

Was aber zu erkennen ist: Die Grenzfunktion ist im Punkt unstetig. Was kann man nun daraus folgern?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu fällt mir dieser Satz ein:

Konvergiert die Folge (fn) in A(D) gleichmäßig gegen f und sind alle fn
stetig, so ist auch f stetig.
Kurz gesagt, der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig.

Da alle Funktionen stetig sind, müsste, wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent wäre, die Grenzfunktion ebenfalls in jedem Punkt stetig sein!
Ist sie aber in dem Punkte t=0 nicht. Somit nicht gleichmäßig konvergent.

Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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