Monotone Normen

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12.06.2005, 21:40	Polly	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotone Normen Hallo, ich soll folgende Aufgabe bearbeiten, mit der ich aber einige Probleme habe: Eine Norm ll * ll auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ^n heißt monoton, wenn gilt: x,y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ^n mit 0 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ xi $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ yi für 1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ i $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ n $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ll x ll $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ ll y ll. a) Finden Sie ein Beispiel für eine monotone Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ^n. b) Sind alle Normen auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ^n monoton? Wahrscheinlich ist diese Aufgabe mal wieder gar nicht sooo schwer, aber ich wäre für Denkanstöße wirklich sehr dankbar. Ich weiß nämlich weder was eine Norm ist, noch was es zu bedeuten hat, wenn es heißt sie wäre monoton. Wäre sehr dankbar für ein paar Definitionen bzw. Erklärungen zu dieser Aufgabe, denn ich weiß damit echt nichts anzufangen. Vielen Dank, Polly
12.06.2005, 22:22	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hier findest du die Definition von Norm und auch gleich Beispiele für Normen. Viellicht findest du da ja schon was passendes. Und die Definition von Monotonie in diesem Zusammenhang hast du doch selbst angegeben. Gruß Anirahtak
12.06.2005, 22:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt nicht, was eine Norm ist? Und dann kriegst du so eine Aufgabe? Da musst du doch irgendwie die Definition einer Norm stehen haben! Was es bedeutet, dass die Norm monoton ist, steht doch sogar in der Aufgabenstellung! Das ist ja gar nicht zu übersehen. Welche Normen kennst du denn schon auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ? Eine Norm zu konstruieren, die nicht monoton ist, dürfte ja eigentlich auch nicht so schwer sein! Gruß MSS
13.06.2005, 15:01	Lamalambra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also ich habe mir das gerade mal durchgelesen mit dem Norm und so, aber vielleicht kann mir jemand erklären, was diese Doppel-Striche zu bedeuten haben? Also was sagen die mir oder wie muss ich damit umgehen?
14.06.2005, 19:48	Polly	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich habe das mit der Definition einer Norm jetzt schon ein paarmal durchgearbeitet (Vielen Dank übrigens dafür!), nur habe ich leider das Problem, dass ich leider nicht weiß, wie ich eine Norm konstruieren sollte. Wäre über ein kleines, ganz einfaches Beispiel wahnsinnig dankbar, denn ich habe diesmal überhaupt keinen Plan!
15.06.2005, 01:01	RK	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Norm definiert den Betrag (deswegen die Doppelstriche). Sie muss drei Eigneschaften haben, damit es eine Norm ist: 1. \|\|0\|\|=0 2. \|\|rx\|\|=\|r\|*\|\|x\|\| wober r ein skalar ist 3. \|\|x+y\|\| ist kleiner gleich \|\|x\|\|+\|\|y\|\| Als Beispiel: Aufgabe 1 a und c sind monotone Normen, mag die jetzt nicht aufschreiben, weil ich kein Bock hab mich mit diesem Formelzeug hier auseinanderzusetzen und dann nur blöde Kommentare zu kriegen á la "da hast du dich wohl vertippt, aber zur Aufgabe kann ich nichts sagen, wollte nur eben meinen 1387sten Beitrag schreiben..." Ich hoffe es fühlt sich jetzt keiner beleidigt, ist nicht bös gemeint...
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15.06.2005, 08:15	Krümel	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelstriche Zur Frage mit den Dopllestrichen. Ich kann dir hier auch nur eine kurze Definition geben, aber ich denke, dass die schon ganz gut weiterhilft. $\begin{eqnarray} \mid\mid x \mid\mid \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \sqrt{(x,x)} \end{eqnarray}$ Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mid\mid x \mid\mid \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \mid x \mid \end{eqnarray}$ , im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mid\mid x \mid\mid \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{(x_1^2 + x_2^2)} \end{eqnarray}$ . Auch im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mid\mid x \mid\mid \end{eqnarray}$ der Abstand vom Nullpunkt zum Punkt x.
15.06.2005, 12:34	Gast24	Auf diesen Beitrag antworten »
Hy, also davon mal abgesehen, dass ich nicht weiß was eine monotone Norm ist, hab ich 4Axiome die für eine Norm gelten müssen (definit,positiv,homogen,Dreiecksungleichung). RK spricht ja von 3Sachen, hab ich da nun schon wieder was falsch verstanden? Und meinst du mit Aufgabe 1) a/c die andere Aufgabe hier im Forum? Wenn ja, dann Frage ich mich nun wirklich wo der Unterschied von Normen und monotonen Normen ist? Brauch echt dringend hilfe...
16.06.2005, 14:52	Krümel	Auf diesen Beitrag antworten »
Halli Hallo!!! Erstmal zu Gast24, es sind im Prinzip nur 3Axiome, da ja nur eins der beiden Axiome bezüglich Null gelten kann. Aber kann mir hier keiner sagen wie genau eine monotone Norm definiert ist? Bin echt aifgeschmissen, denn ich find nix dazu und kann so nix mit der Aufgabe anfangen. HILFE!!! MfG Krümel
17.06.2005, 15:25	Lamalambra	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habe nun mal eine Vermutung was das monoton angeht g $\begin{eqnarray} \mid \mid x \mid \mid \leq \mid \mid y \mid \mid \end{eqnarray}$ ist monoton, wenn in einem Vektor x: x1, x2 und x3 kleiner sind als in einem Vektor y: y1, y2 und y3 Dann ist es doch monoton, nun ist ja die Frage bei b, ob alle Norm monoton sind: Könnte man da nicht zwei Fälle aufschreiben? 1. Fall: $\begin{eqnarray} \vec{x}\leq\vec{y} \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} \vec{x} \geq \vec{y} \end{eqnarray*}$ Und dann könnte man das ja anhand von Beispielen zeigen und dann würde man sehen, dass der zweite Fall halt mit Definition, die in der Aufgabe steht, nicht monoton wäre und somit sind nicht alle Norm monoton... oder mache ich es mir nun zu leicht???
18.06.2005, 12:15	Lamalambra	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir hier vielleicht jemand sagen, ob ich damit richtig liege, wäre nett!

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