Pos. definites komplexes Skalarprodukt

13.06.2005, 07:54

_Pepsi_

Pos. definites komplexes Skalarprodukt

Hab hier gerade bei einer Aufgabe so meine Probleme ...

Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 x \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ ist eine Abb. $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \beta (a,b) = a^-_1 * b_1 - i* a^-_1 *b_2 + i* a^-_2 * b_1 + 2* a^-_2 *b_2 + i* a^-_2 *b_3 - i* a^-_3 *b_2 + 2* a^-_3 *b_3 \end{eqnarray*}$ gegeben.

( $\begin{eqnarray*} a^-_1 \end{eqnarray*}$ soll das konjugierte $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ darstellen)

Nun soll ich
(1) den Abstand von (1,0,i) und (1,i,1) bzgl $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$
berechnen
und
(2) alle y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ berechnen, welche bzgl $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auf (1,0,i) und (1,i,1) senkrecht stehen.

Bei (2) hab ich mal so angefangen:

zu (1,0,i) :
$\begin{eqnarray*} \beta ((1,0,i),y) = y_1 - i * y_2 + y_2 + 2*i*y_3 = y_1 + y_2 + i*(-y_2 + 2y_3) \end{eqnarray*}$
Um alle y welche auf (1,0,i) senkecht stehen zu erhalten habe ich die Gleichung mit 0 gleichgesetz, also

$\begin{eqnarray*} 0 = y_1 + y_2 + i*(-y_2 + 2y_3) \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich leider gerade nicht mehr weiter (das i stört mich) ...

zu (1) weiß ich leider gar keinen Ansatz....

Würde mich über etwas Hilfe freuen smile

Ciao

13.06.2005, 09:33

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Zu (1): Jedes Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ erzeugt gemäß $\begin{eqnarray*} \|x\|_{\beta}:=\sqrt{\beta(x,x)} \end{eqnarray*}$ eine Norm, und diese wiederum gemäß $\begin{eqnarray*} d_{\beta}(x,y):=\|x-y\|_{\beta} \end{eqnarray*}$ eine Abstandsmetrik auf einem Vektorraum. Und genau das wird es wohl sein, was du hier auf diese konkreten Vektoren anwenden sollst.

13.06.2005, 13:11

_Pepsi_

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Dank dir

ich dachte auf diese Weise dürfte man nur in den reellen zahlen rechnen.

Nun fehlt nur noch (2)

13.06.2005, 13:51

JochenX

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2 klingt ja nach einem LGS....

allgemein:
ist denn schon verifiziert, dass deine abbildung beta ein skalarprodukt überhaupt ist!?

13.06.2005, 15:09

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Zitat:

Original von LOED
dass deine abbildung beta ein skalarprodukt überhaupt ist!?

Andernfalls hätte ich schon längst gemeckert. Augenzwinkern

13.06.2005, 15:17

_Pepsi_

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Der Beweis,dass es sich um ein SP handelt, war ein andere Teil der Aufgabenstellung. Damit bin ich schon durch smile

13.06.2005, 15:23

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Und bei (2) nochmal LOED's Tipp etwas detaillierter: Du hast du richtig begonnen, du musst nur mit dem zweiten Vektor genauso verfahren. Dann ergibt
$\begin{eqnarray*} \beta((1,0,i),y) &=& 0\\ \beta((1,i,1),y) &=& 0 \end{eqnarray*}$
ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen für die drei Komponenten von y, das es zu lösen gilt.

13.06.2005, 19:49

_Pepsi_

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Muss ich die beiden denn nicht unabhängig voneinander betrachten ? so würde ich doch nur alle y berechnen die auf beiden vektoren senkrecht stehen.
(merke gerade,dass ich die fragestellung ungenau formuliert habe ,sry .... es geht um alle y die auf dem ersten vektor und dann getrennt davon um alle y die auf dem 2. vektor senkrecht stehen, also 2 getrennte aufgaben)

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