Verständnisfrage zur "reinkubischen" Gleichung

13.06.2005, 12:04

brunsi

Verständnisfrage zur "reinkubischen" Gleichung

Also wie schon das Thema meines Thread verrät, ahbe ich nur eine leichte verständnisfrage zur "reinkubischen"Gleichung, die lautet:

$\begin{eqnarray*} t^{3}+z=0 \end{eqnarray*}$

es gibt da ja drei Lösungen für:

$\begin{eqnarray*} t_1=\sqrt[3]{-z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_2=\epsilon_2*\sqrt[3]{-z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_3=\epsilon_3*\sqrt[3]{-z} \end{eqnarray*}$

so jetzt meine frage:

$\begin{eqnarray*} \epsilon_2=\frac{1}{2}*(-1+i*\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon_3=\frac{1}{2}*(-1- i*\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

was stellt $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ jeweils da und was bedeutet das
$\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ in den gleichungen???

kann mir das jemand bitte erklären??

edit: wie komme ich überhaupt auf den term für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ???

13.06.2005, 12:11

JochenX

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das hätte ich mir jetzt erst herleiten müssen

das i ist ein teil der komplexen zahlen; damit wird der imaginärteil eingeleitet
es gilt i^2=-1

für den fall, dass z negativ ist, d.h. -z positiv, ist über IR deine erste nullstelle eher -[3.wurz(z)].
aber egal.

deine weiteren nullstellen findest du wie gehabt indem du (t-NST) von deinem polynom durch Polynomdivision abspaltest und auf den rest mitternachtsformel anwendest.
viel spaß.

13.06.2005, 12:12

Sciencefreak

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i steht erst mal für die imaginäre Einheit. Kennst du komplexe Zahlen schon? Dort wird es eigentlich immer verwendet. Aber erst mal musst du dafür nur wissen $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ . Bei deiner Gleichung gibt es erst mal natürlich nur eine reele Lösung,da sie stetig ist. Und deine Gleichungen dort oben sind irgendwie komisch. Muss es bei den anderen beiden nicht auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-z} \end{eqnarray*}$ und nicht mit "t"?
Wenn du jetzt halbwegs mit imaginären Zahlen umgehen kannst, dann kannst du einfach mal das e so einsetzen und wirst merken, dass du dort auf eine wahre Aussage kommst. Oder willst du jetzt, dass wir dir erklären, wie man auf diese Formel kommt
Edit:Immer bin ich zu langsam böse

13.06.2005, 12:18

brunsi

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@Sciencefreak: habs verbessert und ich wäre euch auch dankbar, wenn ihr mir erklären könntet, welche zahlen ich für i konkret in meine gleichung einsetzen muss.

sind das entweder für i=0 oder i=1 oder i=-1???

edit: war da nicht mal was, dass man aus negativen zahlen keine wurzel ziehen kann?? verwirrt

also auch keine kubikwurzel und wurzeln höheren grades?

13.06.2005, 12:23

JochenX

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i ist die imaginäre einheit, das ist selbst eine zahl!
da darfst du gar nix für einsetzen!

i=0+i*1 aus den komplexen zahlen; kein realteil, imaginärteil 1

es gilt i^2=-1, gewöhn dich dran.
kannst ja auch mal im workshop komplexe zahlen nachlesen!

13.06.2005, 13:13

brunsi

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ok, danke JOCHEN!!

ediT. aber kann ich das i denn durch die entsprechende reelle zahl ausdrücken?? oder muss ich das mit i weiterrechnen? da ist mir noch ncihts o klar geworden?? verwirrt

13.06.2005, 16:09

Sciencefreak

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du musst mit imaginären Zahlen weiterechnen und die besteht halt sowohl aus einem Real- als auch aus einem Imaginärteil. Du kannst nicht einfach eins davon weglassen

13.06.2005, 16:12

brunsi

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gut, dann weiß ich jetzt ein bissl mehr drüber. aber wie leie ich denn nun die gleichung für das epsilon her?

13.06.2005, 20:13

JochenX

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musst du genau lesen:

Zitat:

deine weiteren nullstellen findest du wie gehabt indem du (t-NST) von deinem polynom durch Polynomdivision abspaltest und auf den rest mitternachtsformel anwendest.

13.06.2005, 20:51

DGU

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1, epsilon und epsilon^2 (eigentlich heisst es omega!) sind die dritten einheitswurzeln, also (komplexe) zahlen z, die die gleichung z^3=1 erfüllen

du berechnest sie durch

$\begin{eqnarray*} (\varepsilon(n))^k=\cos\left(\frac{2\pi\cdot k}{n}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{2\pi\cdot k}{n}\right) \end{eqnarray*}$

bei diesem bsp bedeutet epsilon allg.n-te einheitswurzel ,der parameter in klammern das n, für k musst du alle nat. zahlen von 0 bis n-1 einsetzen, für n=3:

$\begin{eqnarray*} k=0: (\varepsilon(3))^0=\cos\left(\frac{2\pi\cdot 0}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{2\pi\cdot 0}{3}\right)=\cos (0)+i\cdot\sin (0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=1: (\varepsilon(3))^1=\cos\left(\frac{2\pi\cdot 1}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{2\pi\cdot 1}{3}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i =:\omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=2: (\varepsilon(3))^2=\cos\left(\frac{2\pi\cdot 2}{3}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{2\pi\cdot 2}{3}\right)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i =:\omega^2 \end{eqnarray*}$

ok, ich hab zwei sachen gelernt: "$" nach dem kopieren entfernen und bei absätzen ne neue latexumgebung machen...

13.06.2005, 22:07

brunsi

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@DGU: und diese Terme stehen für epsilon fest?

14.06.2005, 06:45

DGU

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ja, eben definiert als die komplexen Lösungen von z^3=1

du kannst dann zeigen, dass die Lösungen einer beliebigen reinkubischen Gleichung sich aus einer reellen Lösung und epsilon^0=1 bzw epsilon^1 bzw epslon^2 zusammensetzen

14.06.2005, 08:29

Fassregel

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Zitat:

war da nicht mal was, dass man aus negativen zahlen keine wurzel ziehen kann?? :verwirrt: :verwirrt: also auch keine kubikwurzel und wurzeln höheren grades?

du konntest aus negativen Zahlen schon immer (also in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , ohne Kenntnis der komplexen Zahlen) Wurzeln ungeraden Grades ziehen, z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1} =-1 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} -1*(-1)*(-1)=-1 \end{eqnarray*}$
Bei Wurzeln ungeraden Grades gibts auch nur eine Lösung (in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ schauts anders aus)...

14.06.2005, 10:30

brunsi

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so und noch eine frage, wie leite ich dieses her?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\varepsilon(n))^k=\cos\left(\frac{2\pi\cdot k}{n}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{2\pi\cdot k}{n}\right) \end{eqnarray*}$

edit: muss ich die werte dann jeweils am Einheitskreis herleiten für cos und sin?

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